Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
лежащих в верхней полуплоскости; тем самым устанавливается аналитичность
амплитуды в этой области. В результате можно выписать дисперсионное
соотношение для Т(со):
00 оо
Re Т (со) = -1 Р ^ J dy уе~*"! Im У (со', у) +
С", (18,126)
- 99 0
ВЫВОД ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
275
где Сех, - вклад интегрирования по большому полукругу. Этот вклад можно
устранить, сделав достаточное число вычитаний1).
Чтобы завершить доказательство, нужно еще вычислить предел е->-0 под
знаком дисперсионного интеграла (18.126) при |ю| ^ р> чт0 не приводит к
каким-либо трудностям, поскольку в этом случае множитель (sin Vю2 - Р2
у)1 Vю2 - Р2 осциллирует и интеграл в (18.121) существует для
вещественных значений со. В этой области, по существу, вовсе не требуется
вводить е~гу' для подавления экспоненциального роста второго множителя в
(18.125). Однако, и это является камнем преткновения при выводе любых
дисперсионных соотношений, в нефизической области j о> | < р мы не можем
положить е->0, поскольку этот множитель реально необходим, чтобы подавить
рост sh Vp2 - со2 f/. С другой стороны, из рассмотрения фейнмановских
диаграмм известно, что абсорптивная амплитуда в нефизической области
имеет простой вид, а именно Im 7'(со) и обращается в нуль всюду, кроме
полюса при со = р2/2М. Посмотрим теперь, как можно получить этот простой
результат в рассматриваемом подходе.
Вернемся к (18.122) и вычислим Im У (со, у) в нефизической области | со |
< р. Будем считать, что, как обычно, со стремится к вещественной оси из
верхней полуплоскости. Вставив полный набор состояний 1 = ^ \п)(п | между
полями ф и ф+ в коммута-
П
тО{>е, сместим поле ф в начало координат и выполним интегри-рование по
dyo2) ¦
Imy(<,,i,)=Im[<2f ¦bjgjgii'x х I - Mf -Я- "7 x
П
ч/ ( I (" I ф+ I Ms) I2 I (" I ф I Ms) j2 Л1 /1Я 1071
А V (й + М-Е" + ге (о~М + Еп + ге )У
Мнимая часть отлична от нуля там, где знаменатели обращаются в нуль, что
имеет место только при
Еп = М± со. (18.128)
Состояния |п) в (18.127) могут быть связаны либо с состоянием ф-1*|Als) с
нуклонным числом +1 и зарядом +2, либо с состоянием ф | Ms) с нуклонным
числом +1 и зарядом 0. Единствен-
¦) Гораздо хуже дело обстоит в том случае, когда коммутатор в (18.122)
при у -* 0 имеет существенную особенность, при этом возникающая добавка к
Т (со) уже не сводится к полиному.
2) Производная по времени от 0(г/о) в (18.122) ведет лишь к полиномам по
си и поэтому не содержится в (18.127). Множитель (ътрпу)1Рп возникает
после усреднения по проекции спина s.
276 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. 18
ным состоянием с указанными квантовыми числами и с энергией Еп < М + р')
является дискретное состояние нейтрона, причем это состояние содержится
во втором члене в (18.127). Вклад в нефизическую область от непрерывного
спектра нуклонов и пионов, порог которого равен М + р, отсутствует. Вклад
же однонейтронного состояния, очевидно, приводит к полюсному члену в
Т(со), вычисленному в предыдущем параграфе.
При попытке вычислить Im У (со, г/) в нефизической области
непосредственно из (18.127) мы сталкиваемся со сложными и запутанными
вычислениями2). Оказывается, однако, возможным избежать трудности, если
воспользоваться приемом, предложенным Боголюбовым [27]. Im У (со, у) при
со < ц равна
Im У (со, у) = ^ d3k f(k, у) 6 (со - М + ^k2 + М2) =
= \d3kF(k, у) б(со- ^ (18.129)
где k- импульс нейтрона. Все несущественные множители включены в функции
f(k,y) и F(k,y) и ^ в (18.127) заменена на
П
^ d3k. Боголюбов заметил, что можно избежать вычисления
(18.129), если ввести вспомогательную амплитуду Т(со), которая
определяется через функцию У(со, у), обладающую всеми желательными
свойствами, позволяющими доказать дисперсионные соотношения, и
отличающуюся от У (со, у) лишь заменой
F (к, y)^F (к, у) = (со - F {к, у) (18.130)
в (18.129). Поскольку *6(х) = 0, Т (со) не вносит вклада в нефизическую
область.
Функция Т(со) не содержит нейтронного полюса, поскольку
Т (со) = (со -J^-) Т (со), (18.131)
что легко проверить, повторяя предыдущие выкладки с учетом
дополнительного множителя. Действительно, амплитуда 20! (q, р, s) в
(18.116) умножается на
¦) Это неравенство следует из (18.128) при |со| < р.
2) См. [97-99J. Трудности еще более возрастают при рассмотрении дис-
персионных соотношений для рассеяния на ненулевой угол.
§ 134]
ВЫВОД ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
277
Этот множитель может быть внесен внутрь интеграла в правой части (18.116)
и заменен затем локальным дифференциальным оператором, действующим на
ф(у)
Поэтому все выкладки, ведущие от выражения (18.116) к дисперсионным
соотношениям (18.126), могут быть повторены для У(со) с заменой
При вычислении Im У(со, у) в (18.127) единственное изменение заключается
в появлении дополнительного множителя со - - (со2 - \k\2)/2М.
Следовательно,
Поэтому У(со) удовлетворяет дисперсионным соотношениям, выражающим ее
свойства аналитичности в комплексной со-плоско-сти с разрезом
Разумеется, чтобы компенсировать лишнюю степень со в (18.132) и устранить
