Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
= " *^р!-(2п)Ч< 07, + q2-kl- k2) x
XAr(s -г'е, cos Qfk) A} (s -f- г'е, cos0*;), (18.147)
где использовано свойство полноты (17.56) изотопических проекционных
операторов. Множитель 1/2 в (18.147) возникает при переходе от суммы по
промежуточным состояниям к интегралу и связан с тождественностью двух
пионов с импульсами k\ и k2. В системе центра масс
ki + k2 ==(Vs, О)
и
cose^7rarr cose^=liw' cose^T*W'
При этом правая часть в (18.147) сводится к следующему интегралу по
углам:
tm/4/(s, cos dfi) -
= -1mF'\Z^Zr^\dQkA,i(s' cosef*)Ms- cos0fc"). (18.148)
где подразумевается, что s имеет бесконечно малую положительную мнимую
добавку. Для парциальных амплитуд (18.137) условие унитарности сводится к
1тЛ?(5) = - П8Л49)
¦) Местоимение "мы" в данном случае включает и читателя.
2) Отметим, что этот результат получен без использования свойства
инвариантности теории при отражении времени.
§ 135! ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ я-я-РАССЕЯНИЯ
Поэтому в упругой области амплитуда Л;^) имеет вид
283
А/ (s) = - 32л y\J {exp [ib* (s)]} sin 6/ (s), (18Л 50)
где фазы b\ вещественны.
Выше порога образования 4-пионов s = 16ц2 условие унитарности уже не
имеет столь простого вида, поскольку в формуле
Ims
Res
Ф
Рис. 18.33 Аналитические свойства парциальной амплитуды рассеяния: правый
разрез функции D[ (s) (а), левый разрез функции N[ (s) (б).
(18.42) содержатся, наряду с упругими, также и неупругие каналы. В
этом случае
1тЛ{(5) = ~з^
где 3?\ (s) - вещественный множитель, который при s sSL 16ц2 равен
тождественно единице. При s > 16ц2 этот множитель равен отношению полного
сечения с моментом /, т. е. вкладу всех упругих и неупругих каналов, к
упругому сечению:
,1,1
tot
(s)
J, J
(s)
1 +
,1,1
inel
(s)
,1,1
(s)
(18.152)
В духе дисперсионного подхода амплитуду рассеяния следует
параметризировать в терминах аналитических и слабо меняющихся в
рассматриваемой области функций. С помощью такой параметризации можно
построить теорию эффективного радиуса, которая наилучшим образом отражает
свойства аналитичности, унитарности и кроссинг-симметрии теории. Покажем,
как это можно сделать на примере амплитуды л - л-рассеяния вблизи порога
(рис. 18.33). Как известно, v4f (s) имеет точку ветвления при s = 4ц2,
причем скачок на разрезе 4ц2 ^ s ^ оо определяется из условия
унитарности. Если нам удастся выразить Aj (s) через функцию, не имеющую
этой точки ветвления, то мы
284
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
можем предсказать основные черты энергетической зависимости амплитуды А\
(s) вблизи порога s - 4р2.
Фредгольмовская теория потенциального рассеяния наводит на мысль, что для
этого амплитуду следует представить в виде отношения двух функций
1 , n] (s)
A (s) = -4--. (18.153)
32я D\ (s)
Числитель N\ аналитичен в s-плоскости с левым разрезом -оо и веществен
при s > 0, в то время как функция
D[ (s), представляющая аналог детерминанта Фредгольма,1) ана-литична
всюду, за исключением правого разреза 4ц2 ^ s ^ оо, и вещественна при
вещественных s < 4р2. Если функция JVj (s) задана, то D\ {s) определяется
из условия унитарности. Согласно (18.153)
^1тЛЦ5) = ~-^т1тО,'М, S>V, (18.154) а из (18.151) следует, что
I mDi(s)=^^^-Nt(s)2?!i(s), s>4p2. (18.155)
Зная аналитические свойства функции D\ (s) и выражение для ее скачка на
разрезе, мы можем выписать дисперсионное представление для D'i (s). При
этом число необходимых вычитаний определяется асимптотическим поведением
Nj(s) и 2?\{s). В нерелятивистской потенциальной теории аналог N[ (s)
стремится при s->oo к борновскому члену; в результате при s-> оо N\ (s) -
> 0 и D; (s) -> 1. Если, для простоты, предположить, что
(s) -> const,
то
1 + к LМ-й V-Vе1-N' w&<*'>. 08.156)
4 a2
•) Cm. [103]. Функция D называется функцией Иоста. Возможность
представления (18.153) сразу становится ясной, если определить
Тогда функция
a\d\ = n\
вещественна в области 0 < s < 16р2, т. е. ниже неупругих порогов.
§ 135]
ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ Я-Я-РАССЕЯНИЯ
285
где использовано условие нормировки Dj(оо)=1, которое, конечно, является
произвольным. Подставляя (18.156) в (18.153), мы приходим к представлению
парциальной амплитуды в виде
-Г5 (|8Л57)
+-1 иУ* ~-v N[U)S'U)
я J V s s - s - te
4M-2
1
Следует помнить, однако, что это выражение, как и (18.156), получено при
определенных оптимистических предположениях об асимптотическом поведении
амплитуды А\. Преимущество представления (18.157) заключается в том, что
оно обладает правильными аналитическими свойствами и автоматически
обеспечивает унитарность амплитуды. Для фактического же вычисления А\
необходимо задать функцию N\, которая не имеет особенностей вблизи порога
s = 4ц2. В качестве первого грубого приближения можно аппроксимировать N{
вкладом простейшей диаграммы, описывающей взаимодействие я-мезонов. Если
константа связи стремится к нулю, то А\ (s) -> 2>2nN[ (s); при этом
амплитуда вещественна. Представление же (18.157) подправляет этот
результат в случае произвольных констант связи, поскольку оно содержит
