Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
поправки, возникающие из знаменателя, которые и обеспечивают унитарность
амплитуды. Вводя фазу рассеяния (18.150), из (18.157) получаем
г 1 Г 1 С /s' ~ ^ц2 n[ (/) S[ (s') "1
¦-*)-' - 08.158)
*- 4|л! -I
Поскольку функция N\(s) имеет только левый разрез, можно1) разложить
правую часть этого выражения в степенной ряд вокруг точки s = 4ц2 с
радиусом сходимости 4ц2. При этом мы приходим к обобщенной формуле
эффективного радиуса.
Чтобы получить более точный результат, нужно задать дополнительную
информацию о числителе N\ (s). На левом разрезе существует множество
особых точек, отвечающих различным редуцированным графикам и
сингулярностям Ландау. Однако точно так же, как низкоэнергетическая часть
правого разреза отвечает простому одномерному графику, указанному на
*) См. задачу 10 этой главы.
286
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
рис. 18.34, а, низкоэнергетическая часть левого разреза обусловлена
соответствующими кроссинговыми диаграммами (см. рис. 18.34,6). Скачки
указанных особенностей можно получить, рассматривая аналитически
продолженное соотношение упругой унитарности в t- и м-каналах. Эти скачки
вновь выражаются через амплитуду упругого я - л-рассеяния, поэтому, в
предположении, что указанные особенности играют доминирующую
v у'
\
\
''<г?
а)
\ / /гг
У/Ч nfy \ /
11 Н
k ^ 1 ^
ъ/
' к '
ф
Рис. 18.34. Одномерные редуцированные диаграммы в я - я-рассеянии.
роль, мы получаем замкнутую систему интегральных уравнений для вычисления
А\ (s). Несмотря на то, что решение этих уравнений неоднократно
обсуждалось в литературе, еще раз подчеркнем, что приближение, в котором
учитываются особенности, отвечающие только графикам рис. 18.34, не может
считаться удовлетворительным. Асимптотическое поведение амплитуды, равно
как ее вид в достаточно удаленной от порога области на левом разрезе,
остаются полностью неопределенными. Любое рассмотрение здесь связано с
необходимостью проводить вычисления в глубоко нефизической области, где
математические методы становятся ненадежными, а качественные аргументы -
неприменимыми.
$ 136]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ структура пйона
28?
Из (18.157) вытекает возможность существования связанных состояний или
резонансов, которые определяются поведением функций Dli(s). Если D'i(s)
такова, что ReZ)/(s#) = 0 в некоторой точке s = sR > 4р2, то фаза б\
проходит в этой точке через 90°, и мы имеем резонанс. Если же D/(s) = 0
при s < 4р2, то амплитуда А/ (s) имеет полюс, отвечающий связанному
состоянию. Динамические вычисления я - я-амплитуды, если они отвечают
действительности, должны, очевидно, приводить к первой возможности, т. е.
к существованию р-волнового резонанса, сопоставляемого р-мезону.
§ 136. Электромагнитная структура пиона
Описанный выше подход может быть использован также для вычисления
электромагнитного форм-фактора пиона [104, 105]. Как было показано в §
131, особенности Fri(q2) при q2 < 16ц2 определяются только
редуцированными диаграммами, указанными на рис. 18.35. Эти диаграммы
сводятся к произведению
Рис. 18.35. Электромагнитная вершина пиона.
электромагнитной вершины пиона и амплитуды л - я-рассеяния. Используя
условие унитарности, можно получить соответствующее аналитическое
выражение, необходимое для последующего вычисления форм-фактора пиона.
В § 131 были установлены аналитические свойства Fn(q2), которые
использовались затем при обсуждении дисперсионных соотношений для
амплитуды я - я-рассеяния на нулевой угол. Напомним, что в F"(q2)
отсутствует левый разрез и единственной его сингулярностью является
правый разрез от 4ц2 до оо. Повторяя теперь для вершинной функции
выкладки, проделанные в § 133 (см. (18.136) - (18.142)), получим
Уц+> = (я+ (?+) я" (<7_) out | (q) | 0) =
- / (2я)4 64 (q - q+ - q_) . " ... ....
"-------(2,7V^._-----------------------------------08.159)
288 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. 18
где1) ?Лд(х) = ej^ix), /^(р) -фурье-компонента тока }ц(х) и кинематика
указана на рис. 18.35. Ниже порога вершина равна
У!-1 - <я+ (9+) я' (¦?-)|п I /" (9) I °> "
^ (2я)3 V4co+<b- У + }>х "
Условие унитарности имеет вид
<f out I /д10) - <f in I I 0) = - Z [<f in I я out) - 6f"] (" out | 10).
(18.161)
Если в Z ограничиться вкладом я+ - я~-состояний и перейти
П
в систему центра масс двух пионов, то из (18.141) и (18.159) получаем
2(q+-q_f\m.Fn{q1) =
= - г J d3k+d3k_ (2л)4 б4 (q-k+ - k_) X
X (~ (k+ - k_fFn(q2+is). (18.162)
После интегрирования по углам правая часть в (18.162) содержит только р-
волновую амплитуду. Эта амплитуда отвечает чистому изотопическому спину /
= 1, как это следует из статистики Бозе для пионов. Выделим в (18.136)
член с / = 1 и учтем, что
(я+я" | Р\ | я+л") = 1/2
(см. (17.54)); тогда, умножив (18.162) на пространственно-подобный вектор
поляризации е^ = (0, е), получаем
cos 0 Im FK (q2) =
= - '\Jq2-r~q^i j ТШ* ^1 (<72 ~ ге, cos0f")cos0"/r"(p2+ ге). (18.163) В
формуле (18.163)
ТП]Ъ = с°зе' Т^ГРл"созв'"' т^т^Т "cos e'>-
После интегрирования по углам получаем
