Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
0. Согласно теореме Четаева, отсюда следует неустойчивость положения
равновесия.
§ 5. Устойчивость точек либрации при малых е
Рассмотрим устойчивость точек либрации для малых значений
эксцентриситета. Покажем, что если параметры е и р находятся в области
устойчивости в первом приближении и не принадлежат резонансным кривым
третьего и четвертого порядков, то при достаточно малых значениях е
(зависящих от р) треугольные точки либрации устойчивы, если в нормальной
форме функции Гамильтона пренебречь членами выше четвертого порядка по
ф^рГ-
Пусть р не равно ни одному из значений р<°>, задаваемых табл. 2 и 3 главы
9, и принадлежит интервалу 0 < р < р* устойчивости в первом приближении
для круговой задачи. Тогда при малых значениях эксцентриситета
отсутствуют резонансы третьего и четвертого порядка и нормальная форма
функции Гамильтона будет иметь вид (4.1). Рассмотрим свойства нормальной
формы при малых е. Согласно § 4, для доказательства устойчивости нужно
проверить, что функция Fs (ф) отлична от нуля при любых значениях ф.
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ МАЛЫХ р. И в
181
В выражении для Fa слагаемые, содержащие угол ф, при малых значениях е
могут быть сделаны сколь угодно малыми, а коэффициент Da при уменьшении е
стремится к функции с002 (р), имеющей вид (см. формулу для с002 (р) в
восьмой главе)
С002 (р-) = - 1б + 9р(1 - р) •
Следовательно, для любого фиксированного р существует достаточно малое
положительное число е* (р) такое, что при О <*< < е* (р) функция Е3(ф)
будет отрицательной и, значит, уравнение Fз (Ф) - 0 не будет иметь
корней. Отсюда и следует устойчивость лагранжевых решений.
§ 6. Неустойчивость точек либрации при малых р и е
Из (5.1) видно, что величина с002 (р) обращается в нуль при р= 0. Поэтому
при малых е и р возможно появление областей неустойчивости. Но тут уже
качественных оценок, использующих малость эксцентриситета, недостаточно
для исследования. Для того, чтобы неустойчивость могла быть обнаружена,
следует получать числовые значения коэффициентов функции F3 (ф) или хотя
бы исследовать их поведение при малых е и р. Результаты такого
исследования приводятся ниже. Оказывается, что при достаточно малых е и р
действительно существует область неустойчивости. Ниже будет получено
приближенное уравнение границы этой области в плоскости е, р.
Если учитывать степени эксцентриситета не выше второй, то коэффициенты Ка
и Ьа равны нулю и функция Fa (ф) может быть записана в виде
Fa (ф) = с002 + е2" + е2 (б sin 2ф + у cos 2ф), (6.1)
где а, б, у - некоторые функции р, а с002 имеет вид (5.1). Функция (6.1)
при выполнении неравенства
1 с002 + А | < е2 VW+f (6.2)
может обратиться в нуль, если, например,
I I * 1 1 б 1 Con? + е2** , Я
ф = ф* = -- arctg-------s- arccos -от2~ -: ¦ 4- -- .
2 6 V 2 е2 у б2 + у2 2
При этом Fa (ф*) < 0. Таким образом, если е - достаточно малая величина,
то неравенство (6.2) есть условие неустойчивости лагранжевых решений.
Было исследовано поведение функций, стоящих в обеих частях неравенства
(6.2) при р, стремящемся к нулю. При этом, если для
182
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 10
Cqо2 это можно сделать, используя формулу (5.1), то для функций а и + у2
исследование очень громоздко и оно проводилось на вычислительной машине.
Оказалось, что имеют место равенства
соог = -0,1875р. + Ex (р), а = -0,0781р + е2 (р),
/б2 + V2 = 0,12-10-' + 83 (р),
где е* (р) - бесконечно малые величины при р, стремящемся
к нулю, причем порядок малости гг и е2 выше первого.
Из неравенства (6.2) получаем теперь такое условие неустойчивости при
достаточно малых еир:
е(r) > 15625000р. (6.3)
Полученная в плоскости е, р область неустойчивости лагранжевых решений
является очень узкой. При малых еир одной из ее границ является ось Ое, а
другой - кривая, мало отличающаяся от параболы е = 3953 У р.
Отметим в заключение, что обнаруженная неустойчивость лагранжевых решений
является следствием резонанса, связанного с тем, что частота вращения тел
S и / равна частоте колебаний тела Р по направлению, перпендикулярному
плоскости их вращения. Этот резонансный эффект проявляется только в
эллиптической пространственной задаче. В случае круговой пространственной
задачи этот резонанс к неустойчивости не приводит.
§ 7. Результаты численного исследования
при произвольных еир. Устойчивость лагранжевых
решении в системе Солнце-Юпитер
В этом параграфе кратко опишем численное исследование треугольных точек
либрации в системе Солнце-Юпитер, а также результаты численного
исследования при произвольных еир. Исследование было приведено на ЭВМ с
применением метода точечных отображений (см. главу 6).
Итак, пусть параметры еир соответствуют системе Солнце - Юпитер: е =
0,04825382, р = 0,00095388. Сначала нужно найти линейное нормализующее
пребразование. Алгоритм его получения изложен в § 5 главы 2. Линейная
нормализация части гамильтониана, соответствующей пространственным
переменным qa, р3, не требуется, так как пространственная часть
