Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 71

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 203 >> Следующая

рассмотрению следующего линейного уравнения в частных производных:
Kt(y,Y,t) = H1(y,Y,t)-^. (5.12)
Наложив на функцию Кх какие-либо требования (например, чтобы она
тождественно обращалась в нуль, не содержала коротко
g 5] ФОРМАЛЬНАЯ ТЕХНИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 201
периодических членов или удовлетворяла каким-либо другим ограничениям,
вытекающим из содержания рассматриваемой физической задачи), можно из
(5.12) вычислить функцию Wx (у, Y, t) и подсчитать следующие функции:
yd) = wlY, Yd) = -wly,
xd) = _ yd), XW = - Yd), (5.13)
/i,o = ?i/<°>, /" = A + /1,0,
необходимые для использования теории возмущений с точностью до членов
первого порядка относительно е.
Для вычисления членов второго порядка предварительно находим
К1Л = ЬХКХ. (5.14)
Дифференциальное уравнение для нахождения W2 (у, Y, t) имеет вид
К2 = Н2 + ЬХНХ + КХ,Х-^. (5.15)
Выбрав W2, как это требуют условия исследуемой задачи, найдем из (5.15)
функцию W2. Члены второго порядка искомых разложений будут затем
подсчитываться согласно формулам
Уы = Й1УЧ Ylfl = Lx Y(1),
yd) = Ж2У + yi,i, Y(2) = - Ж2У + Y1;1, (5-16)
Х(2) = _ у(2) + 2ylfl, Х(2) = - Y<2) + 2Ytjl,
/1,1 = Ei/d), /2 0 = L2fm - Ljfltо, /(2) = /2 + 2fux -f- /2,0.
Чтобы найти члены третьего порядка, сначала следует вычислить такие
функции:
Кх,2 = ЬХК2, (5.17)
К2Л = Ь2К1 - ЬХКХ,Х. (5.18)
Дифференциальное уравнение для W3 (у , Y , t) имеет вид
К3 = Я3 + ЬХН2 + 2Ь2НХ + 2Кх,2 + К2,х - ^ . (5.19)
Найдя из этого уравнения функцию W3, можно вычислить затем
члены третьего порядка искомых разложений
Ум = ?iy<*>, Y1)2 = Lx Y<2\
Ум = L2yW _ Llyhl, y2)1 = L2Y(1) - LxYM,
у(з) = VK3Y + 2yi,2 + y2,i, Y(3) = -Жзу +2Y1)2+ Y2)1, (5.20)
Х(з) = _ у(з) + 3y1)2 + 3y2,i, X(3) = - Y(3) + 3Y1)2 + 3Y2i1,
/1,2 = LXP\ f2,x = L2/d) _ Lxfltl,
/з,о = L3fi0) - Lxfz,0 - 2L2/i,u, /d) = /g -f- 3/12 + З/2Д "4" /3,0*
202 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ-ХОРИ [ГЛ. 11
Процедуру построения разложений (5.3) -(5.7) и (5.9) можно аналогично
продолжить до любого порядка относительно е, используя соотношения (3.6),
(3.7), (3.11)-(3.13), (3.20), (3.21), (4.7), (4.17) и (4.24)-(4.27).
§ 6. О теории возмущений, основанной на рядах Ли
В этом параграфе получим общие формулы метода возмущений Хори,
основанного на рядах Ли. В методе Хори [142] функции / и W (см. § 3)
явным образом от ц не зависят. Поэтому имеют место соотношения (см. также
§ 2)
+ (ад
^ = Lwf (х, X). (6.2)
Так как правая часть равенства (6.2) не зависит от ц, то
<шшг1=~к гЧ = Lw [Lwf (х'Х)] =№f (х> Х) (6-3)
и, вообще, для к > 1
dkf^kX) = Lwf (х, X). (6.4)
Чтобы построить необходимые разложения теории возмущений Хори, положим
оо
elF(x,X) = % Wn(x, X), (6.5)
П=
/(х, Х)= 5 /п(х, X). (6.6)
п=о
Тогда из (6.2) получим
еТГ1 = Ё/")(х'Х)' (6-7)
п=о
где
п
/^(х, Х)= 2 Lm+ifn-m (х, X). (6.8)
т=о
Вообще, для к > 1
е, "Щ*. X) (6.9)
п=о
§ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ НА ОСНОВЕ РЯДОВ ЛИ 203
где
Лк) (X, X) = а (X. X). (6.10)
771=0
Следовательно,
efe(//(V^) = У/"'(У. Y)> С6-11)
\ afri /п=о *-¦1
1 1 п=0
где
/*?Чу> X) = 2 Lm+i /п-m (У) Y). (6-12)
771=0
Так как преобразование х, X -> у, Y не зависит от t, то из
уравнения (3.13) следует, что
Н (х, Х) = К (у, Y) (6.13)
или
а#"(х,х) = а к" (у. Y). (6.14)
71=0 П=0
Подставляя / = Н (х, X) в уравнение (6.1) и используя (6.11), получим
Х0(у. Y) = #0(у, Y), (6.15)
П-1
Кп(у, Y) = tfn(y, Y) + y J-±wH%rm)(y, Y) (п>1), (6.16)
771=0
где
771
(у. Y) = а А+1^т-У (у, Y). (6.17)
j=0
Эти соотношения и дадут формулы, необходимые для построения
преобразованного гамильтониана в методе Хори. Перепишем соотношение
(6.16) в виде
Хп(у, Y) = Нп(у, Y) +
к -2
+ У Г^Яп^у, Y) + 1jrJ-sjr Нт~т) (У, Y)] + 0 (у, Y).
m=°L (6.18)
При подсчете Нт~т) по формуле (6.17) следует положить
Н\" - К," - НМ - ^(,_т'+1)| "Г"*. (6.19)
204 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ - ХОРИ (ГЛ. 11
Выпишем первые члены разложения преобразованного гамильтониана
Ко = Но, КХ = НХ + LXH0,
Кг = Нг + Ь1Нх-{-g- Lx (LxHo) -j- Ь2Но, (6.20)
К3 = H3 -(- ЬхНг Ь2НХ -(- -jr-Li (Lx (LxHo)) -f- L3H0 + + ~2 T'l (L2.H0)
+ ~2~ Lx (LXH1) -(- -g- L2 (LxHo)•
Разумеется, соотношения (6.20) справедливы не только для гамильтониана,
но и для любой функции от х, X.
ГЛАВА 12
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К ТРЕУГОЛЬНЫМ ТОЧКАМ ЛИБРАЦИИ КРУГОВОЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Введение
В главах 7-10 подробно исследована задача об устойчивости треугольных
точек либрации. По-видимому, для задач, связанных с исследованием
треугольных точек либрации, следующим важным вопросом является вопрос о
существовании, построении и устойчивости периодических движений, близких
к точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Рассмотрению
этого вопроса посвящена настоящая глава.
В 1899 году Шарлье (см., например, [9< ]), а затем в 1901 году Пламмер
[163], использовав фундаментальные результаты Ляпунова [49] и Пуанкаре
[82], установили существование двух семейств малых периодических
движений, близких к треугольным точкам либрации плоской круговой
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed