Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
выполняются другие резонансные соотношения более высокого порядка (выше
четвертого), то имеет место формальная устойчивость. На кривых резонансов
третьего порядка с одинаковыми знаками чисел кг и к2 точки либрации
оказались неустойчивыми по Ляпунову. На аналогичных кривых,
соответствующих резонансам четвертого порядка, точки либрации либо
неустойчивы по Ляпунову, либо устойчивы при учете в разложении
гамильтониана членов до четвертого порядка включительно. Интервалы
устойчивости и неустойчивости при резонансах четвертого порядка приведены
в табл. 7. Устойчивость в случае кратных резонансов (соответствующих
пересечению кривых резонансов третьего и четвертого порядков) не
исследовалась.
Для значений параметров е и р, при которых не выполнены резонансные
соотношения третьего и четвертого порядков, показана устойчивость для
большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий. При этом, кроме
резонансных кривых третьего и четвертого порядков, пришлось исключить из
рассмотрения кривые, на которых между коэффициентами нормальной формы
выполнено соотношение Сц - 4с2оС02 = 0. Эти кривые изображены на рис. 18
и 19 пунктирными линиями. Для значений параметров е и р, при которых нет
резонансов третьего и четвертого порядков, было проведено исследование
формальной устойчивости. На рис. 18 и 19 области формальной устойчивости
отмечены штриховкой.
А каков ответ (кроме устойчивости по мере) на вопрос об устойчивости для
значений параметров ей ц, которые лежат в не-заштрихованной части
плоскости е, р на рис. 18 и 19 и при которых нет резонансов третьего и
четвертого порядков? При достаточно малых е и значениях р, не
принадлежащих резонансным кривым пятого и шестого порядков (в табл. 5 и 6
приведены соответствующие порождающие точки р(°) при е = 0), а также при
р ф р' = 0,00861, р Ф р" = 0,01656..., р Ф р"' = 0,00509... и, быть
может, значениям р из интервала (0, 0,0242938...), соответствующим
двукратным резонансам выше шестого порядка, в настоящей главе мы показали
формальную устойчивость точек либрации. А какова ситуация при значениях
е, не являющихся малыми и лежащих в незаштрихованных областях рис. 18 и
19?
Можно было бы в принципе провести нормализацию функции Гамильтона до
членов шестого порядка включительно и показать,
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
171
что в незаштрихованных областях рис. 18 и 19 (вне кривых, соответствующих
резонансам до шестого порядка включительно, и вне некоторого числа
кривых, на которых система уравнений (6.5) имеет нетривиальное решение
при гг >0, г2 > 0, и вне, быть может, тех точек (е, р), в которых
выполнены условия существования двукратных резонансов выше шестого
порядка) имеет место формальная устойчивость. Но нормализация
гамильтониана до членов шестого порядка в нашей задаче связана с
чрезвычайно громоздкими вычислениями. Поэтому, исходя из того, что в
"общем случае" результат исследования будет именно таким, как только что
было сказано выше, мы и не проводили численного исследования при учете
членов до шестого порядка в разложении функции Гамильтона.
В заключение выскажем еще некоторые соображения об устойчивости точек
либрации для значений параметров е и р, лежащих в незаштрихованных
областях рис. 18 и 19 и принадлежащих кривым резонансов пятого и шестого
порядков. Предположим, что резонансы однократные, т. е. выполняется
только одно резонансное соотношение кхкх + к2%2 = N при | кг | + | к2 | =
5 или 6 и нет резонансных соотношений более высокого порядка. В "общем
случае" такое предположение справедливо. Множество точек кратных
резонансов имеет нулевую меру.
При резонансе пятого порядка функция Гамильтона в нормальной форме имеет
вид
Я = Vi + V2 + c20ri + Сцгуа + c02rl +
1М \щ
+ УГ1 r2 sin (Vi + V2 - Ny) + О ((rx + r2)3). А при резонансе шестого
порядка нормальная форма будет такой:
Я = Vi + V2 + с2ог\ + cn?y2 + c02rl + c30ri + c2lr\r2 +
М Ру
+ ctfjl + c03r| + dri r2 sin (Vi + V2 - Nv) +
+ О ((rt + r2yh).
Если в резонансном соотношении кукх + к2Х2 = N целые числа кх и к2 имеют
разные знаки, то, согласно Мозеру [157], имеет место формальная
устойчивость. Если же кх и к2 имеют одинаковые знаки, то возможна
неустойчивость, но для этого необходимо, чтобы величина с2йк\ + сикхк2 +
с02^ равнялась нулю. В противном случае по теореме Брюно (см. главу 5)
имеет место формальная устойчивость.
Число всех резонансных кривых пятого и шестого порядков равняется
тридцати четырем: шестнадцать резонансных кривых пятого и восемнадцать -
шестого порядков. Двадцати четырем
172
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
из них соответствуют резонансные соотношения с одинаковыми знаками кг и
к2: двенадцать резонансных соотношений пятого и двенадцать - шестого
порядков.
Значения величины с20к\ + Сцк^ + сй2к\ на всех резонансных кривых пятого
и шестого порядков (с одинаковыми знаками у чисел кг и к2) были вычислены
на ЭВМ. При расчтах мы ограничились значениями е 0,5. Значения параметров
