Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 70

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 203 >> Следующая

В алгоритме Депри, изложенном в предыдущем параграфе,
функции /(п) (у, Y, t) определяются по функциям /п (х, X, t)
при помощи уравнения Депри (3.18), содержащего некоторые вспомогательные
функции fn\ Необходимые рекуррентные вычисления удобно приводить,
используя уравнение (3.18) и треугольник, изображенный на рис. 20. Кэмил
в работах [143, 144]
§ 4] УПРОЩЕНИЕ АЛГОРИТМА ДЕПРИ 197
предложил упрощение алгоритма Депри. В его модификации алгоритма Депри
функции /(п) выражаются только через функции 1п7 /(п-1\ • • -1 /(0) путем
введения вспомогательных линейных операторов. Подход, осуществленный
Кэмилом, упрощает нахождение обратного преобразования и существенно
сокращает вычисления, необходимые при использовании преобразования Ли в
теории возмущений.
В этом параграфе изложим основные идеи, предложенные Кэмилом в его работе
[143]. Перепишем уравнение Депри (3.18) в такой форме:
/" = flf - 2 C-iW/nin-i (71 > 1, к > 0). (4.1)
т=о
Путем исключения функций, стоящих в правой части уравнения
(4.1), можно получить выражение через функции /<*+">, /(*+"-D,... . . .,
fW. В результате получим
дю = /(n+)t) _ ^ (п>1, А>0), (4.2)
3=1
где Gj есть линейный оператор, являющийся функцией Lj, LJ_1, . . . . . .,
Ьг. Подставив (4.2) в уравнение (4.1), получим такие рекуррентные
соотношения:
Gj = Lj - 2j ?j-i LmGj-m (1 ^ ^ n). (4.3)
m=l
Например,
G1 = Ьъ
G2 = L2- LxLl4 (4.4)
G:i = La - Lx (Lz - L-J-iyj - 2L2Lv
При А: = 0иА: = 1из уравнения (4.2) получаем
/<"> = /"+2^/^, (4.5)
i=i
ди = f(n+D _ 2 c?g/h+1). (4.6)
3=1
Если функцию Gjf(i> обозначить через то уравнения (4.5) -
(4.6) можно переписать так:
/(п)=/п+ (4.7)
3=1
fil> = _ S 6\V;.n-i+1, (4.8)
j=l
198
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ - ХОРИ
[ГЛ. И
где
m=i
Подставляя в (4.8) вместо / величины у и Y, можно при помощи треугольного
алгоритма (рис. 20) получить такие рекуррентные соотношения для
вычисления функций у(п) и Y(n>, входящих в разложения (3.11) и (3.12):
y(-) = WnY+ 21 сЦу,>тН, (4.9)
3=1
Y(n> = - W n, + "a CLiYj, n-j (4.10)
3=1
(п > 1),
где
У}, i = L*'(i) ~ 2 р (4.11)
m=1 '
Y,. i = L,Y(i) - a" C??LmY3_m, {. (4.12)
m=i
Если теперь положить в уравнении (4.7) / = и и / = U (из соотношений
(3.22) и (3.23)), то получим
X(")=-y<n)+na ciy (4.13)
i=i
Х(П) = _ Y(n, + 21 ci Yj> n^, (4.14)
j = i
где уи Yj n_j определены равенствами (4.11) и (4.12). Функции x<n) (х, X,
1) и Х<п) (х, X, t), входящие в обратное преобразование (3.20)-(3.21),
получаются по простым формулам
х<"> (X, X, 0 = [Х(п)) , Х<п) (X, X, 0 = [Х<п>] . (4.15)
Y=X Y=X
Пусть функция Гамильтона Н (х, X, t; е) задана в форме
во
Я(х,Х,";е) = ?|-^-Яп(*,Х,0. (4-16)
71= 0
Преобразованная функция Гамильтона может быть найдена в виде
оо
К (у, Y,f;e) = ?-?¦*" (у, Y, <). (4.17)
П=0
Получим связь между функциями Кп и Нп.
§ 5] ФОРМАЛЬНАЯ ТЕХНИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 199
После применения преобразования Ли функция Я запишется
(см. (3.7)) в виде
оо
Я (х, X, <; е) = Yi ТГ Н(П) (У' Y' *)• (4Л8)
п=0
Из этого равенства и соотношения (3.13) получаем для п > 1
Ко = Но, (4.19)
Кп = Нп + Я<">. (4.20)
Полагая в (4.8) / = Н + R, получаем
я?> + Д(tm) == Км - S CUj. n-i+i- (4.21)
j=l
Но при помощи Н- и Д-треугольников (см. рис. 21) получаем н(tm) = Яп+1 + а
СпЬт+1Нп-т (п > 0), (4.22)
7П=0
Д^ = -iWrHilt (п > 0). (4.23)
И, таким образом, из (4.21) - (4.23) получаем рекуррентные соот-
ношения для вычисления преобразованного гамильтониана
Ко = Но, (4.24)
Кп = Яп + ? (Ci^Hn-i + cLiKj, n-i) - ^, (4.25)
3 = 1
где
.CTPn 9PFn tv tr. oo\
иг = ------------L^0' (4-26)
j-1
Kj,i^LjKi- S C??LmKi-m,i. (4.27)
m=l
§ 5. Формальная техника применения преобразования Ли
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона
dx дН dX дН
dt ЭХ ' dt дх
с гамильтонианом
Я (х, X, t; е) = Я0 (х, X, t) + гНх (х, X, t) + -Ц- Я2 (х, X, t) +
(5.1)
2!
+ -Ц-Я,(х,Х, *) + ... (5.2)
200 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ - ХОРИ [ГЛ. 11
Построим в явном виде несколько членов рядов, задающих преобразование,
приводящее гамильтониан к виду
К (у, Y, f, е) = К0 (у, Y, t) + eKx(У, Y, t) + -^-К2(у, Y, t) +
+ ?-K3(y,Y,t)+... (5.3)
Каноническое преобразование х, X -у, Y представим в виде рядов
х = у+ ey<D(y, Y, t) + -^-у(2>(у, Y, t) + ily(s)(y, Y, t)+ ..., (5.4)
X = Y + eY" (y, Y, t) + Y" (y, Y, t) + Yw (y, Y, t) + ...,
(5.5)
а обратное - при помощи рядов
у =x + ex<1>(x, X, f) + -|rx<2>(x, X, t) -|- -||-х№(х, X, t) -f ...,
(5.6)
Y = X + еХ(1) (х, X, t) + -g- X(2) (x, X, 0 + - J X(3) (x, X, t) + • • ¦
(5.7)
Далее, любую аналитическую функцию / (х, X, t; е) = /о (х, X, t) 4- е/j.
(х, X, t) -f- -¦ /2 (х, X, t) 4-
+ "зу /з (х> X, t) 4- ... (5.8)
после преобразования (х, X) -> (у, Y) запишем в виде ряда /(х, X, t; е) =
/(0)(у, Y, t) 4- е/(1) (у, Y, t) -f /(2)(у, Y,t) +
+ -J/(3)(y, Y,0 + ... (5.9)
Рекуррентные вычисления начинаются с того, что выписываются очевидные
соотношения
К0 (у, Y, t) = Н0 (у, Y, t), (5.10)
/(0) (у, Y, t) = /о (у, Y, г). (5.11)
Далее (см. (4.25)), нахождение членов первого порядка приводит к
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed