Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
необходимо проводить при помощи вычислений с использованием ЭВМ. При этом
для фиксированных е и р надо сначала при помощи ЭВМ найти линейное
нормализующее преобразование, а затем произвести нормализацию нелинейной
гамильтоновой системы. Соответствующие алгоритмы нормализации изложены во
второй и четвертой главах. Там же получены нужные нам здесь критерии
устойчивости и неустойчивости.
Характеристическое уравнение линейной системы является возвратным.
Запишем его в виде
р4 - ахр3 + а2 р2 - ахр + 1 = 0. (7.1)
Коэффициент ах равен следу фундаментальной матрицы линейной системы,
вычисленной при v = 2я, а2 - сумма всех ее главных миноров второго
порядка.
В плоскости коэффициентов аг, а2 область устойчивости линейной системы
задается системой неравенств [48]
- 2 < а2 < 6, (7.2)
4(а2-2)<а?<-1-(а2 + 2)2
6*
164
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
и представляет собой внутренность криволинейного треугольника,
изображенного на рис. 15.
Для значений ах, а2, лежащих в области устойчивости, характеристическое
уравнение (7.1) имеет простые корни с модулями,
Рис. 15. Области устойчивости и резонансные кривые в плоскости
коэффициентов характеристического уравнения:
равными единице. Вне треугольника, где уравнение (7.1) имеет 1 1
С - В AI .У-f- - о ./.о - А -|---*-•- dh= N, 2X2 = ./V"
А -В l1 = N±-^-\ ^2 = yV±4"'> E~F ^i±^2 = ^ + -4";
^±3X2 = ^, 3X!±X2 = 7V (N = 0, ±1, ±2, ...).
хотя бы один корень с модулем, большим единицы, исследуемое движение
неустойчиво. Ца границе криволинейного треугольника уравнение (7.1), не
имея корней с модулями, большими единицы, имеет кратные корни с модулями,
равными единице.
Пусть коэффициенты аг и а2 лежат внутри криволинейного треугольника.
Запишем корни уравнения (7.1) (мультипликаторы линейной системы) в виде
рл = exp (i2n%k), рк+2 = exp (-i2nXk). (7.3)
Величины кк - вещественные числа (± й.к - характеристиче-
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
165
ские показатели линейной системы). Коэффициенты характеристического
уравнения (7.1) связаны с величинами посредством следующих соотношений:
ах = 2(cos2n7,1 + cos2n?i2), Oj = 2 + 4 cos 2n7,xcos 2я?12. (7.4)
Граница криволинейного треугольника соответствует параметрическому
резонансу кгКг + к2Х2 ~ N (къ к2, N - целые числа; | кх | + | к2 | = 1
или 2). Эти резонансы обнаруживаются уже при анализе линейной задачи.
Получим еще внутри криволинейного треугольника кривые, соответствующие
резонансам третьего и четвертого порядков, обнаруживающимся при
нелинейном анализе.
Из соотношений (7.4) получаем, что резонансные соотношения ЗХк = N, 4Xh =
N и 2(Хх ± Я,2) = N осуществляются соответственно на прямых а2 = 1 - ах,
а2 = 2 и ах = 0. Резонансные соотношения Xt ± 2kj = N и kt ± 3kj = N (г,
/ = 1, 2; г Ф- /) осуществляются при значениях ах и а2, удовлетворяющих
соответственно равенствам cos 2яkt - cos 4я7,, = 0 и cos 2яkt - -cos 6я^=
0. Все эти кривые изображены на рис. 15 внутри криволинейного
треугольника.
Получим явные выражения величин кк через коэффициенты характеристического
уравнения ах и а2. Из равенств (7.4) следует, что z = cos 2лкх и z = cos
2пк2 удовлетворяют следующему уравнению:
4 z2 - 2 axz + (а2 - 2) = 0. (7.5)
Из этого уравнения и соотношений (7.4) величины кх и к2 определяются
неоднозначно. Для их однозначного определения воспользуемся
непрерывностью А.г и по параметру е. Рассмотрим предельный случай
круговой задачи. При е - 0 корни уравнения
(7.5) будут такими:
cos 2яоц -|- cos 2ясо2 + | cos 2яиц - cos 2ясо21 "1, 2 - 2 •
Нетрудно проверить, что cos 2я<"1 cos 2ясо2. Поэтому
1 1
Arccos zx, Я2 = *2^- Arccos z2.
Далее, учитывая, что 1 > o>i > j/2/2 > о>2 > 0, получаем
кх = \----2^ arcCOS Zx при любых (Ох и (c)21
1 1 ( ---2л"arccos z2 при 0<(О2<-^-,
= I 1 1/-
[-1 +-2JTarccosz2 при -i-<со2< .
166
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
Таким образом, неоднозначность в определении величин и устранена и при
любых е внутри областей устойчивости линейной задали, изображенных на
рис. 12 они вычисляются но следующим формулам:
Приведем сначала результаты численного исследования устойчивости для
значений параметров е, р, при которых выполнены резонансные соотношения
третьего и четвертого порядков.
- Прежде всего отметим, что резонансные кривые к1к1 + к2к2 = N, для
которых целые числа кг и к2 имеют разные знаки, в подробном исследовании
не нуждаются, так как для подобных резонансов имеет место формальная
устойчивость [157], если отсутствуют другие резонансные соотношения
любого порядка. В противном случае можно сделать утверждение об
устойчивости при учете в разложении функции Гамильтона членов лишь до
четвертого порядка включительно относительно координат и импульсов
возмущенного движения.
В области устойчивости линеаризованной задачи в плоскости параметров е и
р существуют пять резонансных кривых третьего порядка и на четырех из них
величины к2 и к2 имеют одинаковые знаки. Резонансные кривые изображены на
