Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
е и ц, при которых велиина с20к? + с11к1к2 + с02к\ обращается в нуль,
представлены табл. 8. В ней же выписаны соответствующие резонансные
соотношения.
Таблица 8
Резо- нанс 3Ai-f-+2Хг=2 5Xs=-2 ЗХ,+ -f-2 Хг=1 ЭХ., -f-+2X2=1
6Xf=-l 4X1+ +2X2=3 X,+ 5X2=^ 2Хг+4Хг= = - 1 2Xi+4X2= = -1
5X1+ + X2= 3
е 0,192 0,061 0,141 0,191 0,498 0,179 0,078 0,135 0,181 0,144
V- 0,0161 0,0197 0,0392 0,0407 0,0015 0,0154
0,0183 0,0391 0,0406 0,0397
Для первых четырех пар резонансных значений е и р. табл. 8 в "общем
случае" будет Иметь место неустойчивость по Ляпунову, так как при
резонансе пятого порядка условие неустойчивости у ф 0 в "общем случае"
выполнено.
Для остальных шести пар резонансных значений е и ц, в зависимости от
соотношений между коэффициентами нормальной формы функции Гамильтона,
возможна как неустойчивость по Ляпунову, так и устойчивость в конечном
порядке.
ГЛАВА 10
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Тождественный резонанс
В этой главе, следуя [64, 661, рассмотрим устойчивость треугольных точек
либрации пространственной эллиптической задачи трех тел. Задача об
устойчивости в этом случае по сравнению с уже рассмотренными в главах 7-9
случаями является самой сложной и громоздкой. Кроме увеличения числа
степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще
одна, характерная только для этой задачи, особенность: имеет место
тождественный (т. е. существующий при всех е и р) резонанс, возникающий
из-за равенства периода кенлеровского движения основных притягивающих тел
S и / и периода линейных колебаний тела Р бесконечно малой массы по
направлению, перпендикулярному плоскости их орбиты.
Упомянутый резонанс является резонансом первого порядка и в случае общей
динамической системы он должен был бы привести к неустойчивости, которая
была бы обнаружена уже при анализе линейной системы дифференциальных
уравнений возмущенного движения. Но в нашей конкретной задаче в линейном
приближении этот резонанс не приводит к неустойчивости. Это происходит
потому, что в линейной задаче плоские и пространственные колебания
разделяются, а пространственное движение описывается при помощи функции
Гамильтона
^ = 2.(^3 + Рз)*
не содержащей возмущающих членов (имеющих частоту кепле-ровского
движения), которые могли бы привести к неустойчивости. В нелинейной
задаче тождественный резонанс может привести к неустойчивости, но эффект
неустойчивости проявляется только при учете в функции Гамильтона членов
не ниже четвертого порядка по <7i, pt и при учете в разложениях
коэффициентов функции Гамильтона степеней эксцентриситета не ниже второй.
Поэтому анализ устойчивости очень громоздок и труден. Ниже он проводится
для случая малых значений е.
174
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
§ 2. Алгоритм линейной нормализации с точностью до второй степени
эксцентриситета
Найдем линейное каноническое 2я-периодическое преобразование,
нормализующее квадратичную часть гамильтониана возмущенного движения (см.
разложение (3.1) в главе 7). С точностью до первой степени
эксцентриситета такое преобразование найдено в § 2 предыдущей главы. Там
же (в § 3) были найдены (с точностью до членов норядка е2) выражения для
величин ^ и ^ в нормальной форме квадратичной части гамильтониана
з
= jM?iS + P?). (2.1)
i=i
(Отметим, что в рассматриваемой пространственной задаче вели-чина К3 =
1). Теперь покажем, как найти нормализующее пре образование с точностью
до членов порядка е2.
Сначала сделаем преобразование qt, ->- qu Pi по формулам
(4.2) седьмой главы, а затем - преобразование qlt pi ->¦ cji, pt по
формулам (2.5) девятой главы. После этих двух преобразований квадратичная
часть функции Гамильтона запишется в виде
#2 (qi, pi, V) = #2 + - (Чз + Рз),
где Ш2 вычисляется по формуле (2.6) предыдущей главы. Так как часть
гамильтониана Н2, соответствующая пространственным движениям, уже имеет
нормальную форму, то в дальнейшем проведем нормализацию только функции
П2.
Чтобы не вводить дополнительных обозначений, переменные, которые будут
введены нормализующим преобразованием, обозначим, как и исходные
переменные, через qt, pt. Пусть S - производящая функция преобразования
qu -v qh pp.
S - QiP\ + ЧчРч + 2j (v) q l'q^Pi'Pz*- (2-2)
fc,+ S!+|ll+M2=2
Функцию S ищем 2я-периодической no v. Коэффициенты s^n^/v) и величины
представим в виде рядов
SXifal.lil.lj = e^fafaUiH, (v) + e2l + • • • , (2.3)
7,i = coi + eitp + + . . . ,
Т,2 = - со2 "Г ^ + • • • (2.4)
Величины (v) найдены в предыдущей главе. Они вычисля-
ются по формулам (2.22). Величины 7,)п) находятся из условий
периодичности функций Siwt^ujCv). В предыдущей главе найдено, что
АЛГОРИТМ ЛИНЕЙНОЙ НОРМАЛИЗАЦИИ
175
= Я4Х) = 0, а вычисляются по формулам (3.2). Кратко опщпем теперь, как
найти функции (v)- Подставив в
тождество
разложения (2.3), (2.4) и приравняв в его обеих частях члены при второй
степени е, получим для функций систему десяти
