Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
этом случае из-за того, что имеет место резонанс
178
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
Х3 = 1, кроме трех одночленов, зависящих от произведений Qi Pi (/ = 1, 2,
3), нельзя уничтожить еще восемь одночленов, со-
J.J * J \* Н Я Я н *
держащих либо только q3 и р3, либо q3, р3 и произведения q1p1 или д2р2 -
Таким образом, если параметры е и р не принадлежат кривым резонансов
третьего или четвертого порядка, то
в нормальной форме функции Гамиль-Таблица 9 тона будет содержаться
четырнадцать членов четвертого порядка. В табл. 9 приведены значения
соответствующих им показателей степеней ти щ. Пусть qj, рj - канонические
переменные, введенные преобразованием Биркгофа при упрощении членов
четвертой степени. Если теперь перейти к вещественным "полярным"
координатам по формулам
41 = ехР (- %).
Pi = -*V2p7exp (iQj) (; = 1,2,3),
то получим такое выражение для нормализованной до членов четвертого
порядка функции Гамильтона:
Н = + ?i2p2 + р з + Ар\ + -Spip2 + Срг +
+ Рз (Eipx +Е2р2 + Е3р3) + В, (3.4)
где В 2я-периодична по угловым переменным 07- и v и имеет пятый порядок
относительно Ур3. В функции Гамильтона (3.4) введены обозначения
Fi = Dt + Et sin (203 - 2v) + Gt cos (203 - 2v) +•
+ Kt sin (403 - 4v) + Li cos (403-4v).
Величины А, В, С, Dit Et, Gt, Kt, Li не зависят от 01} 02, 03 и v и
аналитичны но e при достаточно малом его значении. Коэффициенты А, В, С,
Di при е = 0 вычислены в зависимости от р в [63, 111] и приведены в
седьмой и восьмой главах. При малых е в них возникает поправка порядка
е2. Коэффициенты Е%, Gt при 0 < <?<< 1 имеют порядок е2, а К3 и L3-
порядок е4; Къ К2, Lx и L2 равны нулю.
§ 4. Исследование устойчивости системы с функцией Гамильтона (3.4)
После проведения нормализации задача об устойчивости треугольных точек
либрации свелась к исследованию устойчивости положения равновесия
pi=p2=p3 = 0 системы с функцией Гамильтона (3.4). Для исследования
устойчивости сделаем сначала
п^ШгтзЩПгП, тгтгтзгЦг^п,
200200 020020 110110 012010 011011 010012 102100 10 110 1 10 0 10 2
004000 002002 000004 003001 001003
СИСТЕМА С ФУНКЦИЕЙ ГАМИЛЬТОНА (3.4)
179
замену переменных 03 = v + ф. Тогда уравнения движения сохраняют
гамильтонов вид, но нормализованная часть функции Гамильтона не будет
содержать истинную аномалию и член, линейный по р з, и будет иметь вид
Н = + Я,2р2 + Ар\ + Вр1Р2 + Ср2 +
+ Рз(^1Р1 +^2рг+ F3p3) + й, (4.1)
где теперь
Ft = Dt + Ei sin 2ф + Gt cos 2ф + Kt sin 4ф + Li cos 4ф.
Докажем следующую теорему.
Теорема. Если F3 (ф) Ф 0 при любых значениях ф, то положение равновесия
устойчиво при учете в нормальной форме (4.1) членов до четвертого порядка
включительно по р г; если же существуют значения ф, при которых F3 (ф)=
0, но при этих значениях dF3ld\p Ф 0, то положение равновесия неустойчиво
по Ляпунову.
Первое утверждение сформулированной теоремы можно доказать при помощи
теоремы Ляпунова об устойчивости. Для этого заметим, что если в
нормальной форме отбросить члены выше четвертого порядка по1/рг, то
укороченная функция Гамильтона Н- Й будет интегралом движения. Кроме
того, рх и р2 тоже будут интегралами. Для доказательства устойчивости
функцию Ляпунова берем в виде
V = р21 + pt + (Я - й)\ (4.2)
Ясно, что dV/dt = 0, а функция V определенно-положительна, если уравнение
F3 (ф) = 0 не имеет корней. Отсюда следует, что положение равновесия рх =
р2 = рз = 0 устойчиво (для системы с укороченной функцией Гамильтона Н -
й).
Второе утверждение теоремы доказывается несколько сложнее. Для
доказательства используем теорему Четаева о неустойчивости. Пусть
существуют значения ф, при которых F3 (ф) = О, и при этих значениях
производная dF3/dty Ф 0. Из этого условия и периодичности функции F3 (ф)
== 0 следует, что среди корней уравнения /''з(ф) = 0 Существует по
крайней мере одно значение, ф = ф", для которого-dF3/dty < 0.
Для доказательства неустойчивости функцию Четаева возьмем в виде
У = Рз (cos (2ф - 2ф*) - cos 2е] - (Pl + р2)4'5- (4.3)
Здесь е - положительное сколь угодно малое число, которое подберем так,
чтобы функция V удовлетворяла теореме Четаева о неустойчивости.
180
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
За область V 0 примем область, определяемую такими условиями:
pi + Р2 <рз' [cos (2ф - 2ф*) - cos 2e]5/% (4.4)
ф = ф* -j- T)8 (- 1 < T] < 1).
В этой области справедливы следующие оценки:
cos (2ф - 2ф*) - cos 2e = 2(1 - r]2)e2 + О (e4), sin (2ф - 2ф*) = 2t)e +
0 (e3),
F3 (Ф) = F3 (ф*) т)е + О (e2), (4.5)
(Ф) = F's (ф*) + О (e),
Pi = О (pf), p2 = 0(p53').
Теперь, учитывая уравнения движения с функцией Гамильтона
(4.1) и принимая во внимание оценки (4.5), после проведения несложных
вычислений, получаем в области V 0 выражение для производной
= Pl [-2F, (ф*) (1 + 3rf) е2 + 0(е3) + О (pi'*)]. (4.6)
Из'этого выражения видно, что если е - достаточно малая (но
фиксированная) величина, то в достаточно малой окрестности положения
равновесия рх = р2=р3 = 0 производная dVldt положительна в области V ]>
