Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 67

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 203 >> Следующая

§ 1. Введение
Многие задачи небесной механики описываются каноническими
дифференциальными уравнениями, задаваемыми функцией Гамильтона Н,
содержащей малый параметр ъ:
Н = Н (х, X, t; е), (1.1)
где хт = (хх, . . ., хп), Хт = (Xi, . . Хп) - векторы координат и
импульсов соответствующей механической задачи.
Пусть параметр г входит в гамильтониан Н аналитически. Если при е = 0
рассматриваемая каноническая система интегрируема, то для качественного и
количественного изучения движения при | е | <^5 1 часто ищут каноническую
замену переменных х, X ->--v у, Y, близкую к тождественной и приводящую
функцию Га-' мильтона (1.1) к такой форме, которая позволила бы
достаточно просто провести исследование тех или иных свойств движения в
изучаемой механической задаче. В качестве примера можно привести
неоднократно встречавшиеся в предыдущих главах преобразования,
исключающие из функции Гамильтона нерезонансные члены.
Если исходная функция Гамильтона не содержит время t, то при традиционном
подходе преобразование х, X у, Y может быть найдено при помощи метода
Цейпеля [9]. Преобразование х, X -> у, Y задается при этом при помощи
производящей функции S, зависящей от смешанных (новых и старых)
переменных:
S = S (у, X; 8), S (у, X; 0) = (у, X).s (1.2)
Через (у, X) в (1.2) обозначено скалярное произведение векторов
у и X. Преобразование х, X -*¦ у, Y задается неявно при помощи
соотношений
*--53Г- <'-3>
тг=4т-- ("•"
Отметим, что рассмотренное в главе 3 преобразование Биркгофа во многих
отношениях аналогично преобразованию метода Цейпеля.
ВВЕДЕНИЕ
187
Можно отметить следующие существенные недостатки теории возмущепий,
основанной на применении метода Цейпеля. Во-первых, нахождение
преобразования х, X у, Y требует очень громоздких вычислений. В самом
деле, для выражения переменных х, X через у, Y надо сначала обратить
нелинейное уравнение
(1.4), чтобы выразить вектор импульсов X через новые переменные у, Y, а
потом результат обращения подставить в правую часть уравнения (1.3),
чтобы явно выразить вектор координат х через у, Y. С практической точки
зрения упомянутые операции обращения и подстановки являются весьма
трудоемкими. Во-вторых, для получения обратного преобразования у, Y х, X
нужно выполнить такой же объем вычислений, как и при нахождении прямого
преобразования. Здесь требуется сначала обратить уравнение
(1.3), чтобы выразить у через х, X, а затем результат подставить в (1.4)
для получения выражения Y через х, X. В-третьих, неявные соотношения
(1.3) и (1.4) метода Цейпеля не дают общего алгоритма преобразования
достаточно произвольной функции / (х, X; е) первоначальных фазовых
переменных х, X в функцию новых переменных у, Y. На практике такой
алгоритм очень часто необходим.
В последнее десятилетие в работах [108, ИЗ, 142, 143, 155, 156]
разработан новый способ построения канонического преобразования х, X -у,
Y, в котором устранены упомянутые недостатки метода Цейпеля. Основные
достоинства этого способа состоят в следующем:
1) формулы замены переменных х, X -у, Y получаются в явной форме;
2) обратное преобразование не требует никаких дополнительных вычислений;
3) формулы преобразования пригодны не только для координат и импульсов,
но и для любой функции от них, в частности для гамильтониана;
4) формулы метода задаются рекуррентно и необходимые вычисления могут
быть достаточно просто реализованы на ЭВМ.
Метод, разработанный в [108, 113, 142, 143, 155, 156], основывается на
простой идее, использующей тот факт, что преобразование фазового
пространства, осуществляемое при помощи движений гамильтоновой системы,
является* каноническим [16]. Практическое осуществление канонических
преобразований в работах [108, 113, 142, 143, 155, 156] опирается на
использование рядов Ли и преобразования Ли.
Основы упомянутого метода разработаны независимо Хори 1142] и Депри [ИЗ].
Дальнейшие работы [94, 108, 137, 143, 144, 155, 156, 171] содержат его
более детальную разработку и отладку. Краткое изложение основных идей
метода канонических преобразо-
188
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ-ХОРИ
[ГЛ. 11
ваний Депри - Хори содержится в лекциях К. В. Холшевнико-ва [94] и
монографии Джакалья [137].
Настоящая глава посвящена изложению основ метода Депри - Хори в теории
возмущений канонических систем. Для ясности изложения предварительно
рассматриваются ряды Ли и их некоторые свойства. Затем следует подробное
изложение метода Депри в модификации Кэмила. И в заключение главы кратко
рассматривается преобразование Хори. При изложении материала этой главы
используются оригинальные публикации авторов метода, лекции К. В.
Холшевникова [94], монография Джакалья [137], а также мало известная
работа Кэмила [144].
§ 2. Ряды Ли как каноническое преобразование
Наряду с исходной канонической системой дифференциальных уравнений,
задаваемой функцией Гамильтона (1.1), рассмотрим вспомогательную
каноническую систему
dx _ aw dX _ _ ew_ 9
dt ЭХ ' dt ~~ dx ' >
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed