Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, имеют место соотношения
~ dx = dWx = (ТУхх, dx) + (Wxx, dX) + Wxtdt,
~ dx = dWx = (WXx, dx) + (Wxx, dX),
J-dX=,-dWx = - (W", dx) - (WxX, dX) - Wxtdt,
-±-ЬХ = ~тх = - (W", dx) - (WxX, dX),
8R = - bWt = - (Wxu dx) - (Wxu dX).
Из этих соотношений следует, что приращения dx, dX, dx, 6Х и бR,
вызванные приращениями dy, dY, бу и 6Y удовлетво-
ряют равенству
~ [(dx, dX) - (dX, dx) + dt 6R] = 0. (3.2)
Из этого соотношения следует, что величина (dx, 6Х) -(dX, бх) + + dt 8R
не зависит от ц и равна своему значению, вычисленному при т) = 0. Отсюда
получаем
Иг- 6Х)-(т. (тг- "т)-(4г-
(3.3)
Следовательно, если х и X удовлетворяют системе канонических уравнений
dx дН dX дН /л
ЧГ - Чх * ~1Г - д%' [0'v
то система уравнений для у и Y также будет иметь каноническую форму
dy _ дК dY _ _ дК_ /3 дч
dt ~~ dY ' dt - ду
Когда функция W не зависит от т), система уравнений (3.1) порождает ряды
Ли (см. § 2); если же W зависит от т), то но терминологий, введенной
Депри [113], система уравнений (3.1) порож-
О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЕПРИ
193
дает преобразование Ли. Таким образом, можно сказать, что ряды Ли
представляют собой частный случай преобразования Ли.
Пусть теперь / (х, X, ?; ц) - произвольная бесконечно дифференцируемая
функция, представимая в виде ряда
где
/(х, X, t; в) = ?Д/П(х, X, t),
п=о
/п(х, X, t) = ^^5r/(x, X, t; ц)
(3.6)
Т|=0
Подставив в (3.6) выражения переменных х, X через у, Y и в, получаемые
при помощи преобразования Ли, представим функцию / в виде ряда
/(х, X, ?; в) = Y, 0, (3.7)
где
/(п) (У> Y ,?)
(
+ + (*.#). (3.8)
Отметим, что /0 (х, X, t) = / (х, X, ?; 0) и /(0) (у, Y, t) =
= / (У, Y, ?; 0).
Покажем, как по набору функций /" (х, X, t) разложения (3.6) построить
набор функций /(п) (у, Y, ?), входящих в разложение (3.7). Используя
уравнения (3.1), перепишем соотношение (3.8) в виде
-й-/(х, X, ?; ц)
ат)
= -щ- + Lwf'
(3.9)
где Lw - оператор Ли, определяемый скобкой Пуассона
Lwf = (/• W) = (/х, 1Их) - (/х, ТГх). (3.10)
Положив в (3.7) / равным х, X и 7? и используя (3.1), получим
х = У + 1Лу(")(у' Y,i)' (3.11)
x = Y + Z^rY<n)(y' Y'°' n=i (3.12)
7/=^-?-5^ Y>o, (3.13)
7 Л. П. Маркеев
194 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ - ХОРИ (ГЛ. И
где для га > 1
у(П)
^п~г /л-0
drf
Y<n) = ~ (сЬгт W*) " (3-14)
Пусть теперь функция W представима в виде ряда
1=0
гП-1
W
(х, X, С л) = Wn+1 (х, X, *), (3.15)
п=о
а функция / снова имеет вид (3.6). Тогда, как легко проверить,
соотношение (3.9) перепишется в следующей форме:
^ (х, X, t; Л) = YiW № <х' Х' *>' (ЗЛ6)
п=о
где для га > 0
П
/">(х, х, t) = /п+1Р+ 2 CnLm+yfn-m,
т=о
Lj = (/-1Тг).
Вообще, для & > 1, и га > 0 можно получить, что
к °° п
<3'17)
1 П-0
где
АЧ(х, X, *) = + 2 C%Lmnf(E%.
[m=o
Положив в последнем соотношении ц = 0, получим следующее рекуррентное
соотношение, называемое в [143, 1441 уравнением Депри:
/"(у, Y, о = /&?> + is CWn^, (3.18)
m=o
где для i > 1
Ltf = (/у, И^у) - (/Y, Wiy).
В уравнении Депри
/п0) (у, Y, *) = /" (у, Y, t), /0к) (у, Y, t) = /" (у, Y, *).
§ 3]
О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЕПРИ
195
Следовательно, уравнение Депри позволяет выразить функции /("> (у, Y, t)
через функции /п (у, Y, t) = [/" (х, X, t)]x=y, входя-
X=Y
щие в разложение (3.6). Процедуру вычислений очень удобно представить на
треугольнике (см. рис. 20). ;
Например, J'~f
f-f' 70 Т
/(O^/i + Lx/o, i-
fi* = /2 + А1/1 + Z,2/o,
/w = /?> + Ljv, (3.19 A
jV'1 = /з + T1/2 + 2L2/i + T3/0, I _ /<*> = /" + Lj? + L2fW
ftO L1
a)
-fi
t;
ft!
¦i-
/
ьч
f(3) = -]- LifW. Рис. 20. / - треугольник
(рекуррентное преобразо-
Аналогичные вычисления для функций вание функции / при по-
тт г> v п., мощи преобразования Ли).
Я, R, у, Y иллюстрируются на рис. 21.
Обратное преобразование можно записать в таком виде:
У = х + ? х(п) (х, *),
Y = X
?^Х^(х, X, ?).
(3.20)
(3.21)
Чтобы найти связь между х<п>, у<п> и Х<п\ Y<n\ исключим из (3.11)-(3.12)
и (3.20)-(3.21) величины х - уиХ - Y и определим функции u (х, X, ?, е) и
U (х, X, ?, е) при помощи следующих соотношений:
п (х, Х,?, е) = ^|- х(") (х, X, t) = - У(П) (У- Y' 0. (3-22>
U
(X, X, t, 8)= ^-Jx'^x, X, t) = - ?Д\^(у, Y, t). (3.23)
Функции u и U можно представить так:
и = у-х = Еди"(хД-0 = У^иМ(у, Y, t), (3.24)
п=1 n^l
О = Y- X = J^lUx, x, t) = ?^>(y, Y, t). (3.25)
7*
196
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ - ХОРИ
[ГЛ. 11
Из равенств (3.22)-(3.25) получаем соотношения, позволяющие установить
очень простую связь коэффициентов прямого и
Н,
¦ нт
I
' гп
-Wh-
o'S)
i L, i,
1 I
Vm-*R?~
-w3l-
-R!3>
H3 H,3> -Щ
I I
-if
r'3,-*.R'"
H- треугольник Wiy=</r"
I
Wzy -*¦ y(z)
1 I,
W3Y- yf"-* у(tm) | | |
Я - треугольник
-Щу=У,}
рг)
у-треугольник
Wzu -> К
I I
V,
I L 1
yJ2^y,(3>-*-y'
Y- треугольник
Рис. 21. Треугольники для вычисления коэффициентов у<п\ гамильто-
ниана Н и остаточной функции R.
обратного преобразований:
и" = х<"> (х, X, t), u(n) = - у(") (у, Y, t), (3.26)
Un = Х(п) (х, X, t), U(n) = - Y(n) (у, Y, t). (3.27)
§ 4. Упрощение алгоритма Депри
