Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 14. В результате численного анализа выяснено, что для всех четырех
резонансных кривых 3?i2 = -1, -Г 2к2 - 0, 2%г -Г к2 = 1, 3?t2 = -2 имеет
место неустойчивость по Ляпунову.
При резонансах четвертого порядка картина устойчивости более сложная. В
области устойчивости линейной задачи существуют восемь кривых, на которых
выполнены резонансные соотношения четвертого порядка. Эти кривые
изображены на рис. 14. На шести из них в резонансных соотношениях к^к2 -Г
к2к2 = N величины кг и к2 имеют одинаковые знаки. Проведенные расчеты
показали, что на кривых резонансов четвертого порядка существуют как
участки устойчивости в четвертом приближении (при учете в разложении
гамильтониана членов до четвертого порядка), так и участки неустойчивости
по Ляпунову. Результаты численных расчетов представлены в табл. 7.
На рис. 16 и 17 изображены все резонансные кривые третьего и четвертого
порядков. На всех кривых, кроме кх + 2к2 = 0 и
при любых значениях р,
4
п- arccos in
1
% - У а* - 4(^ + 8
4
1 4- -S- arccos 1 2я
аг - У а* - 4а2 + 8
при р > Ро-
4
(7.6)
§ 7] ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 167
Таблица 7
Резонанс Интервалы неустойчивости Интервалы устойчивости в 4-м
приближении
41* = -1 Ах + за* = 0 2 (li -Ь 7*2) = 1 ЗАХ + А* = 2 Ai -f- 31* - - 1 41х
= 3 0,022 < е < 0,611 0< е< 0,141 0,026 < е< 0,45 0,186 < е < 0,207
0 < е< 0,022; 0,611 <е< 0,8 0,141 <е< 0,8 0<е <0,026 0<е< 0,065 0
<е <0,196; 0,207 < в <0,24 0< е<0,18
/.j + 3>,2 = 0, при е = О имеет место устойчивость по Ляпунову (см. главу
7). На резонансных кривых А.* - ЗХ2 = 2, 3^ - К2 = 3, - 2к2 = 2,
изображенных на рисунках штрих-пунктирными
Рис. 16. Интервалы устойчивости и неустойчивости на резонансных кривых.
линиями, имеет место формальная устойчивость (при отсутствии других
резонансных соотношений любого порядка). На резо-нансвых кривых ЗХ2 = -1,
+ 21* = 0, 2Хх + а2 = 1, 31* = -2
третьего порядка при е Ф О имеет место неустойчивость по Ляпунову. На
рис. 16 и 17 эти кривые изображены пунктирными линиями. На резонансных
кривых 41* = -1, 1,! +31* = 0, 2(1* + 1*) = 1, ЗЯ-j + 1* = 2, 1* + 31* =
-1 и 41* = 3 четвертого порядка участки неустойчивости изображены
пунктирными линиями, а участки устойчивости в четвертом приближении -
сплошными линиями.
168 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ.
9
Было проведено также численное исследование устойчивости при значениях
параметров, не лежащих на кривых, где выполнены
Рис. 17. Интервалы устойчивости и неустойчивости на резонансных кривых.
резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. При этом из-за
вычислительных трудностей, проявляющихся при
Рис. 18. Области формальной устойчивости.
больших значениях е или при малых значениях р, а также вблизи границ
областей устойчивости в линейном нриблиймрии, мы ограничились значениями
параметров е 0,6 и 0,001 < р < 0,042.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
169
Были проверены условия D s= Сц - 4с20с02 Ф 0 устойчивости для большинства
начальных условий, а также условие формальной устойчивости
(знакоопределенность формы caorf + Сц/уа + сй2г\ в квадранте гг > О, г2
0). Результаты расчетов представлены на рис. 18 и 19. Устойчивость для
большинства начальных условий имеет место почти всюду в области
устойчивости линеаризованной задачи. Исключения составляют резонансные
кривые,
Рис. 19. Области формальной устойчивости.
которые мы уже рассмотрели, и, быть может кривые D = 0, изображенные на
рис. 18 и 19 пунктирными линиями. Сплошными линиями на этих рисунках
изображены кривые, на которых или выполнены резонансные соотношения
третьего порядка (эти кривые надписаны), или те кривые, при переходе
через которые все величины Cij становятся одного знака (именно,
положительными). Области формальной устойчивости на рис. 18 и 19
заштрихованы. При этом в областях, отмеченных горизонтальной штриховкой,
выполнено условие D <0, а в областях, отмеченных наклонной штриховкой D
0, но все величины ctj положительны.
Результаты, полученные при помощи численных расчетов, совпадают с
результатами, полученными выше аналитическими методами при 0 ^ е 1.
§ 8. Обсуждение полученных результатов
Здесь кратко сформулируем и обсудим результаты аналитического и
численного исследований устойчивости треугольных точек либрации,
проведенных в настоящей главе.
Область устойчивости в первом приближении изображена на рис. 12. Мы
провели подробное исследование устойчивости для значений параметров е и
р, лежащих внутри области устойчивости в первом приближении.
170
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. э
На рис. 14 построены кривые, соответствующие резонансам + к2Х2 = N
третьего и четвертого порядков (| &i | + | | =
= 3 или 4). На тех резонансных кривых, для которых целые числа кг и к2
имеют разные знаки, точки либрации устойчивы при учете в разложении
функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно относительно
координат и импульсов возмущенного движения; если же на таких кривых не
