Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
где W (x, X) - произвольная достаточно гладкая функция.
Пусть при t - 0 х = у, X = Y. Обозначим решение системы
(2.1) при t = е через
X = X(у, Y, Б, W), X = Х(у, Y, е, W). (2.2)
Произвольная функция от х, X в силу соотношений (2.2) становится
некоторой функцией от у, Y, а также от е и W:
/(х, X) = /(х(у, Y, е, W), X(у, Y, е, W)) = /(у, Y, е, W). (2.3)
Здесь и далее в настоящем параграфе чертой обозначается результат замены
переменных, осуществляемой согласно формулам (2.2). Так как функции х, X
в (2.2) являются решениями гамильтоновой системы (2.1), то преобразование
(2.2) будет каноническим [16]. Мы ограничимся рассмотрением случая малых
значений |е|. Понятие ряда Ли вытекает из решения задачи Коши
А гг
-Ir = g(z), z|t=0 = Z, (2.4)
где zT = (z1( . . ., zm) и gT = (gu . . ., gm) - аналитическая функция
своих аргументов в окрестности точки Z. Решение задачи (2.4) при t - е
дается рядом Ли [139]
z = -jjj- DnZ = ехр (eZ)) Z, п=0
(2.5)
§ 2j ряды ли 189
сходящимся при достаточно малом 8. Здесь D - оператор Ли
т
D = ygi( Z)A,
Ы 4 (2-6)
J)0 = Dn+1 = DDn
Если система уравнений (2.4) имеет вид (2.1), то результат применения
оператора D к функции f запишется так:
Lwf = (/• W), (2.7)
где (f-W) - скобка Пауссона
<2'8>
Выражение (2.7) называется производной Ли функции /, порожденной функцией
W, а оператор Lw - оператором Ли.
Имеют место следующие, легко проверяемые свойства оператора Лиг
1) Lw (а/ + Р#) = аLwf + $Lwg (а, р - const),
2) Lw (fg) = gLwf + fLwg, (2.9)
3) Lw (f-g) = (Lwf-g) +(f-Lwg),
4) LwLyf = LyLwf + L(wv)f-
Используя (2.9), нетрудно доказать свойства степеней оператора Ли:
1) Lw (а/ + Р#) = а Lwf + Р Lwg (а, Р - const),
2) Llr{fg) = 2 Cr:i^vfLnwmg, (2.10)
771-0
3) Lw (f'g) = S Cn (Lwf-Lwmg).
m=о
Здесь
Пусть функции W и / - аналитические. Тогда очевидно, что при достаточно
малом е ряд
оо
Z771
Lwf = exp (eLw) f (2.12)
771=0
будет сходящимся. Легко проверить, что имеют место следующие
190 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ-ХОРН [ГЛ. 11
свойства оператора ехр (eLw)•
1) ехр (eLw) (а/ + fig) = а ехр (eLw) / + 0 ехр (eLw) g
(а, P - const),
2) exp (sLw) (fg) = exp (eLw) f exp (eLwg), (2.13)
3) exp (eLw) (f-g) = (exp (eLw) /-exp (eLw)g).
Каноническое преобразование (2.2) при помощи ряда Ли запишется в виде
х = ехр (eLw) У, X = ехр (eLw) Y. (2.14)
Преобразование, обратное (2.14), получается, очевидно, заменой знака е на
обратный или, что то же самое, изменением на обратный знака функции W.
Таким образом, имеем
у = ехр (eL-w) х, Y = ехр (eL-w) X. (2.15)
Важным достоинством ряда Ли является то, что он позволяет не только
получить преобразование (2.14), но и произвольную функцию / от решения.
Для любой аналитической функции / (х, X) справедливо следующее
соотношение:
j (у, Y, е) = / (ехр (eLw) у, ехр (eLw)Y)=exp.(eLw) / (у, Y). (2.16) В
самом деле, очевидно, что
Lwf(у, Y,e) = (^, Lwz*), (2.17)
где z* - 2ге-мерпый вектор, z*T = (хх, . . ., хп, Хг, . . ., Хп), a Lwz*
- 2п -мерный вектор, к-я компонента которого равна (zk-W).
Продифференцировав (2.14) по е, получим
=LWz*. (2.18)
Из соотношений (2.17) и (2.18) следует, что
W &.*,.) = (я?, •?)=•?. <219>
Аналогично подсчитывается, что Lwf (у, Y, е) = -0
или
ад (у, Y, 0) = ад (у, Y). (2.20)
эп/
деп
в=0
§ 3J О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЕПРИ 191
Следовательно, разложение функции J (у, Y, е) в ряд Тейлора относительно
е дает соотношения
°° _ 00 П
J(у, Y, е) = Yj 4г^ = ? -^/ (у, Y) = еХР{eLw) 1 (У' ?)-
п=о Б=0 п=0
Формула (2.16) доказана.
Пусть теперь функция / зависит от е и при малых е представима в виде ряда
/(х, X, е) = ^-^-/п(х, х). (2.21)
п=0
Тогда при каноническом преобразовании (2.14)
/(у, Y, 8) = |C(tm)Lwfn-m(y, Y). (2.22)
n=o m-0
Соотношение (2.22) легко получить, заметив, что, согласно (2.16)
v""i т
и (у, Y, в) = 2_, 1%1п (У, Y). (2.23)
"г=0
Подставив затем (2.23) в (2.21) и приведя подобные члены, получим
представление (2.22).
§ 3. О теории возмущений Депри
В этом параграфе получим общие соотношения, лежащие в основе теории
возмущений, разработанной Депри в статье [ИЗ]. В методе Депри
используется преобразование Ли, которое может бьпд> определено
посредством системы дифференциальных уравнений
^ = Wx(x,X,*;t,),
*L = _Wx(xf X, /; Л),
= (З-1)
(tm)-=-Wt(x, X, л)
с такими начальными условиями при т) = 0:
X = у (t; е), X = Y (t; е), t = t, R = 0.
Здесь х, X - исходные координаты и импульсы,' у, Y - координаты и
импульсы, полученные после преобразования (х, X, у,
192 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ-ХОРИ [ГЛ. 11
Y - гс-мерные векторы) R = К (у, Y, t; е) - Н (х, X, t; Г)) - остаточная
функция, К, Н - преобразованный и первоначальный гамильтонианы, W-
производящая функция преобразования Ли (она отличается от производяпщх
функций классических способов канонических преобразований, таких,
например, как способ Биркгофа или Цейпеля), t - независимая переменная, е
- постоянный малый параметр, т) - переменный малый параметр (0 г) е).
Убедимся непосредственно, что преобразование является каноническим.
