Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
линейных неоднородных дифференциальных уравнений, распадающуюся на три
системы: две третьего и одну четвертого порядков.
Если величины Я^2) и Af,2) вычисляются по формулам (3.2) девятой главы,
то эти системы имеют я-периодическое решение.
После того как найдены функции (v), получим выраже-
ние переменных дг, pt через g,, pt. С точностью до членов порядка а2
связь новых и старых переменных задается при помощи следующих формул:
(2.5)
где элементы щ матриц NW получаются такими:
"(1) ь "(1)______ _ и "М _ _рь и0) - ь
"11 - -------- "<10101 "12 - --- "-01101 'М3 - -^"-00201 14
- -------"-
"(1) _ ь. "(1)__________ ь "(1) - ь "(1) _ о;
"21 - ------- "-10011 "22 - --- "<01011 "23 - "-00111 "24
- -^
"31 = 2^20001 "зУ = ^11001 ПЯЗ = ^1 Old "34 =
^100
m 1 (11 от mi т m
1100i
01101
01011
176
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 10
пП = ^1100 2^0200^1001 ^ИоЛоЮ! П42 = 2г0209 -
2^0200^0101 ^-1100^-0110"
W43 ^ ^0110 2^0200^0011 ¦ 2Аг0020Аг1100, п44 = Z0101 -
4^0200^0002 ^110(Ло011-
Таким образом, линейное нормализующее преобразование с точностью до
членов порядка е2 найдено.
§ 3. Нормальная форма функции Гамильтона
После проведения линейной нормализации функция Гамильтона примет вид
з
Н=-Т Г,М<??+/??)+Г, h^-(v)qmpn+... (3.1)
i - 1 т, п
В этой формуле для краткости введено обозначение
h птпп h пт1пт2птгпП1пПгпПг
пЧ Р - гЬтхт2тгп{а,пгЧ\ Ч2 Ч3 Pi Рг Р3 >
суммирование происходит по целым неотрицательным числам mi9 ni: сумма
которых равна трем или четырем, а многоточием обозначены члены пятого и
более высоких порядков относительно qi, pt. При этом для всех одночленов
hM,nqmpn число п3 = 0, а пц равно 0, 2 или 4, функции hmin (v) - 2я-
периодические по v, а их разложения в ряды Фурье содержат первые и вторые
гармоники v с коэффициентами, пропорциональными соответственно первой и
второй степеням эксцентриситета.
Нормализация членов третьей и четвертой степеней в Н производится
стандартным путем при помощи преобразования Биркгофа. Если число г =
Zc1X1 + к2к2 + ^з^-з не будет целым при целых kt, сумма модулей которых
не болыпе трех, то члены третьей степени в Н можно исключить полностью.
Отметим, что так как в функцию (3.1) пространственные переменные входят
только в четной степени, то число ks, входящее в выражение для г, таково,
что | к3 | равен нулю или двум. Если к3 = 0, то внутри области
устойчивости в первом приближении г может быть целым числом на
резонансных кривых третьего порядка, которые соответствуют плоской задаче
трех тел. Эти кривые представлены на рис. 14.
Если же | к3 | = 2, то в силу того, что к3 = 1, число г будет целым лишь
тогда, когда либо klt либо к2 будут целыми числами. Но это невозможно,
так как при всех е и р внутри области устойчивости в первом приближении 0
<; | ^ | < 1 (см. формулы для X-t в § 7 гл. 9). Таким образом, члены
третьей степени в функции Гамильтона (3.1) можно уничтожить, если
параметры е, р не при-
§31
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
177
надлежит резонансным кривым третьего порядка, представленным на рис. 14,
и, следовательно, наличие резонанса К3 = 1 в членах третьего порядка не
проявится.
Обозначая через ql, р[ новые канонические переменные, вводимые
преобразованием Биркгофа при уничтожении членов третьей степени,
получаем, что функция Гамильтона в новых переменных будет иметь вид
з
Н' (q'j, р]) = ^ К (q'i + pf) + ^ Am, n (v) q'mp'n + ... (3.2)
7 - 1 m, n
Здесь суммирование по m, n происходит для неотрицательных целых чисел
rrii, nt, сумма которых равна четырем, h'm n(v) - 2я-периодические
функции v, в которые первые и вторые гармоники входят снова с
коэффициентами, пропорциональными еи"* соответственно. Кроме того, <73 и
р3 входят в члены четвертой степени функции (3.2) только в следующих
четырех случаях:
т3= щ - 1; т3 = 2, п3 = 0; т3 = 0, п3 = 2; т3 + п3 = 4.
Теперь при помощи преобразования Биркгофа упростим члены 4-й степени в
функции Гамильтона. Для удобства введем комплексно сопряженные
канонические переменные q,, p-s по формулам
Яз ~ qj "Ь iPji Pi ~ Qj Фл функция (3.2) в новых переменных примет вид Н"
= - ihqlpl - ik2q2p2 - iX3qlp3 + 2 C,b(v) q"mp"n + • • . (3-3)
m> n
Величины q3, p3 входят в члены четвертой степени в четырех случаях: т3 =
п3 = 1; т3 = 2, п3 = 0; т3= 0, п3 = 2; т3 + щ = = 4. К функции И" удобно
применить преобразование Биркгофа. Если число
г = (mi - -f (т2 - п2) %2 + (т3 - п3)%3
не будет целым, то соответствующие члены четвертой степени могут быть
исключены. Число г будет целым на кривых резонансов четвертого порядка,
обнаруживающихся уже в плоской эллиптической задаче трех тел. Они
представлены на рис. 14. Если параметры е, р. не принадлежат этим кривым,
то все члены четвертой степени в Н", не содержащие q3, р3 (для них т3 =
п3 = 0), можно уничтожить, кроме трех, которые зависят от произведений
q3p2 и q2p2. Но коэффициенты при них можно сделать постоянными.
Рассмотрим теперь одночлены четвертой степени в Н", содержащие <73, р3. В
