Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
гамильтониана Н2 уже с самого начала имеет нормальную форму. Займемся
поэтому нормализацией части гамильтониана плоского движения.
Расчеты показывают, что фундаментальная матрица решений X (v)
соответствующей системы дифференциальных уравнений при
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
183
2я будет такой:
10,246067
Х(2я) =
(7.1)
15,765014 -16,830551 9,400540
-5,435207 -8,372406 9,934193 -5,646301
5,056440 8,591016 -8,181647 5,105433
8,833277 15,135589 -16,094789 10,055308
Величины и Х2 вычисляем по формулам (7.6) предыдущей главы. Получаем
К = 0,996758, К = - 0,080802.
Теперь надо найти какое-либо решение системы уравнений (5.10) второй
главы. Положим для определенности четвертые компоненты векторов ei:
вещественными и равными единице. Тогда действительные и мнимые части
собственных векторов получаются такими:
1,256976 1,389429 1,052220 -0,042113
-1,371205 0,273188 -0,607786 -0,040441
Гх = -0,036985 , Si = 1,020730 , r2 = 0,576385 , s2 =
-0,030937
1 0 1 0
Для скалярных произведений (rk, I sj получаем такие числовые значения:
(rlt ISl) = 1,061233, (r2, Is2) = 0,032162.
Далее, из уравнений (5.9) главы12 находим элементы матрицы D da =
0,485361, d22 = 2,788069.
Теперь уже можно выписать нормализующую матрицу N = = X (v) • Р Q (v),
где
-1,348748 0,234825 1,220173 5,867325
-0,265189 0,225503 -1,331058 -3,389100 -0,990844 0,172509 -0,035902
3,214000
0 0 0,970721 5,576138
(7.2)
Q(v) =
cos ^jy 0 - sin A,jv 0
0 cos A,2v 0 - sin ?"2v
sin A,iV 0 cos 0
0 sin A,2v 0 cos A,2v
Для получения матрицы N при каком-либо значении v нужно на ЭВМ
интегрировать систему линейных дифференциальных уравнений шестнадцатого
порядка.
Применив далее алгоритм, изложенный в главе 6, получим производящую
функцию точечного отображения в окрестности точки либрации
S (г,, фг) = S2 + S3 -f- Si + . . ., (7-3)
184
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
где
S2 = К0) (фх - 2nXJ + ri0) (ф2 - 2лЯ2) + 40) (ф3 - 2л), (7.4)
53 = rj Vrj (0,036399 sin фх + 0,01804 cos фх - 0,00846 sin Зфх +
_ + 0,102115 cos Зфл) +
-\-r\Yr% [8,405704'sinф2+2,566987 cosф2+1,668032sin (2ф1+фа) + + 7,148056
cos (2фх -f- ф2) -
-_4,391994 sin (2фх - ф2) - 5,111227 cos (2фх - ф2)] + +АУ?г
[1,598739,sin?1+1,071356cosфх+22,212749sin(фх+ 2ф2)+ + 36,913857 cos (фх
+ 2ф2) - 45,757428 sin (фх - 2ф2) -
- 3,059325 cos (фх - 2ф2)] + г2 (98,462795 sin ф2 +
+ 27,099158 cos ф2 + 70,044213 sin Зф2 + 62,756218 cos Зф2) + + г3 У г\
[0,036203 sin фх + 0,022801 cos фх -
- 0,006181 sin (фх + 2ф3) - 0,00381 cos (фх 4- 2ф3) +
+ 0,019144 sin (фх - 2ф3) + 0,011722 • cos (фх - 2ф3)] +
+ Гд VГ1 [4,566664 sin ф2 + 1,085301 • cos ф2 +
+ 0,137253 sin (ф2 + 2ф3) + 0,032885 cos (ф2 + 2ф3) -
- 0,022454 sin (ф2 - 2Фз) - 0,004787 cos (ф2 - 2Фз)]. (7.5) В выражении
для S4 выпишем только те одночлены, которые необходимы для получения
нормальной формы функции Гамильтона
54 = 85,43976rf + 5293,02 r?r(r) + 25475,856r? +
+ тЭД (39,69968 + 0,09557 sin 2ф3 + 0,967033 cos 2ф3 +
+ 0,000163 sin 4ф3 + 0,0000005 cos 4ф3) +
+ гУа (929,176- 3,333 sin 2ф3 + 25,54123 cos 2ф3 +
+ 0,00324 sin 4ф3 + 0,00008 cos 4ф3) +
+ rf (10,65544 + 0,00087 sin 2ф3 + 0,5505 cos 2Фз'+
+ 0,00009 sin 4ф3 - 0,00712 cos 4ф3). (7.6) Теперь,согласно алгоритму
главы 6,проведем нормализацию полученного отображения и по его нормальной
форме найдем нормальную форму соответствующей функции Гамильтона. Она
имеет тшд (3.4). Коэффициенты А, В и С с точностью до четырех знаков
таковы:
А = 0,0057, В = - 0,1483, С = 0,6159.
Для этих значений коэффициентов
_ 4АС = 0,0079 Ф 0.
Таким образом (см. главу 5), в плоской задаче имеет место устойчивость
треугольных точек либрации для большинства начальных условий.
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
185
Коэффициенты функций Ft с точностью до пяти знаков будут такими:
D, = 0,00580, Ех = 0,00001, Gx = 0,00001, Кх = 0, Ьх = 0,
D2 = 0,05509, ?2 = -0,00038, С2 = -0,00029, АГ2 = 0, L2 =
0,
Дз =-0,00017, ?3 = 0, Gs = 0, Я3 = 0, L3 = 0.
Функция F3 (ф) при всех ф, очевидно, отрицательна. Поэтому
(см. § 4) в пространственной задаче треугольные точки либрации устойчивы
при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов до четвертого
порядка включительно по координатам и импульсам возмущенного движения.
Были проведены также численные расчеты с очень частой сеткой в плоскости
е и р для произвольных значений параметров. Неустойчивость точек либрации
пространственной эллиптической задачи обнаружена не была. Но при
расчетах, из-за резкого возрастания времени интегрирования, нельзя
подойти произвольно близко к оси р = 0 и к резонансным кривым второго
(граница области устойчивости линейной задачи) и третьего порядков. По-
видимому, области неустойчивости, если и существуют, то их границы
проходят очень близко к этим резонансным кривым. Отметим еще раз, что
существование очень узкой области неустойчивости при малых р и е в этой
главе мы показали аналитическими методами.
ГЛАВА И
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ-ХОРИ В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
