Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
слагаемых в вырожденном ядре (2).
Подставим в уравнения (10) вместо /) их выражения.
Будем иметь
\f{x)^}^be{x)dx = Q
а е=\
или согласно (12)
ь
j/(x)i|/ s(x)(fx = 0, s = 1,2,...и - q . (13)
а
Очевидно, что (10) и (13) равносильны.
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема 3. Необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения (3)
при = 0 является ортогональность его свободного члена /(х) ко всем
решениям сопряженного однородного уравнения.
Очевидно, что при этом общее решение уравнения (3) имеет вид
n-q
ср(х)=Ф(,(х)+ EQ ф*(х),
k=\
где ф0(х) - некоторое частное решение, а фДх), к = 1,2,...и - q - частные
решения однородного уравнения (7).
Замечание. Теорема 1 по существу следует из второй и третьей. В самом
деле, если число линейно независимых решений у сопряженного уравнения и у
соответствующего однородного уравнения равно нулю, то условия
ортогональности пропадают, и неоднородное уравнение будет однозначно
разрешимо.
V. Интегральные уравнения
§2. Теоремы Фредгольма
207
Однородное уравнение
ь
ф(х) = Х$К(х, s)<p(s)dS (14)
а
при любых значениях параметра X, очевидно, имеет тривиальное решение ф
(х) = 0. Однако при некоторых значениях X оно может иметь и нетривиальное
решение.
Определение. Значение параметра X, при которых уравнение (7) имеет
нетривиальные решения (т.е. не равные тождественно нулю) называются
собственными значениями уравнения (7) (ядра K{x,s)), а соответствующие им
решения ф(х) - собственными функциями уравнения (ядра).
Справедливо утверждение
Лемма 1. Если в уравнении (1) X не равно собственному значению
соответствующего однородного уравнения (14), то уравнение (1) может иметь
лишь единственное решение.
Доказательство. Пусть фДх) и ф2 (х) - два решения уравнения (1). Тогда
справедливы тождества
ь
ф] (х) = X \к(х, Л')ф! {s)dS + /(х),
а
ь
ф2 (х) - X J/c(x, *^)ф2 (s)dS + /(х),
а
откуда
ь
ф2 (*) - Ф1М = ^\к{*> •'-'Хфг (-S') - Ф1 (s))dS.
а
208 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Следовательно, разность ф(х)= ф2(х)-ф](х) является решением однородного
уравнения. Поскольку X не является собственным значением, то ф(х) = ф2
(х) - ф1 (х)= 0. Лемма доказана.
Теоремы 1, 2 и 3 (см. §1) остаются справедливыми не только для уравнений
с выроженным ядром (3), но и для более общих уравнений (1). Для более
общего случая они называются соответственно 1-й, 2-й, 3-й теоремами
Фредгольма.
Мы приведем формулировки теорем Фредгольма, не вдаваясь в их
доказательства.
2-я теорема Фредгольма. Число q линейно независимых решений
соответствующего однородного уравнения (14) для уравнения (1) и
сопряженного с ним (11) совпадают.
3-я теорема Фредгольма. Необходимое и достаточное условие разрешимости
уравнения (1) состоит в том, чтобы свободный член его был ортогонален ко
всем решениям сопряженного однородного уравнения (11).
1-я теорема Фредгольма. Если уравнение (1) разрешимо при любой функции
/(х) в правой части, то решение его единственно, и, значит,
соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение.
Наоборот, если однородное уравнение имеет только тривиальное решение, то
уравнение разрешимо при любой функции /(х).
Эта теорема, как отмечено выше, есть следствие 2-й и 3-й теорем
Фредгольма.
Задачи
1. Решить интегральное уравнение
1
ф (х) = Х\к(х, y)y(y)dy + f(x) о
V. Интегральные уравнения
в случаях:
а) К(х,у)=х -1, /(х)=х;
б) К(х,у) = 2ех+}, /(х) = ех;
в) К{х,у)= х + у - 2ху, /(х)=х + х2.
2. Решить интегральное уравнение
ф (х) = Х\к{х, у)ф (y)dy + /(х)
209
в случаях:
а) к(х, у) = sin(x - 2у), /(х) = cos 2х;
б) к(х, у) - sin у + у cos х, /(х) = 1- -;
к
в) К(х, у) = cos2(x - у), f(x) = 1 + cos 4х.
3. Найти все характеристические числа и соответствующие собственные
функции следующих интегральных уравнений:
2я " J "
а) ф(х)= X J sin{x + у)н-
>(у)оф;
б) ф(х)=А2| х2у2 --U{y)dy \
в) ф(х)= A, J
cos2(x + y) + ^
)(y)dy.
Лекция 28. Интегральные уравнения с симметричными ядрами
В этой лекции мы будем рассматривать уравнения Фредгальма только с
симметричными ядрами. Ядро К (х, s) называется симметричным, если для
всех х и s из квадрата а <х, s <Ь выполняется тождество
К {x,s) = K (5, х).
210 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Если ядро К (х, s) симметрично, то, очевидно, и все итерированные ядра
К" (x,s):
Ь
Кп (х, s)= JA, (x,t) Кп_^ (t,s)dt, п-2,3,...,
а
Кх (x,s) = K (x,.s) также симметричны.
Уравнения с симметричными ядрами чаще других встречаются в задачах
математической физики. Они обладают целым рядом специфических свойств,
главное из которых выражает
Теорема 1. Всякое непрерывное симметричное ядро, не равное тождественно
нулю, имеет по крайней мере одно собственное значение.
Совокупность всех собственных значений уравнения (ядра) будем называть
спектром уравнения (ядра).
§ 1. Свойства собственных функций и собственных значений
Очевидно, справедливы следующие два свойства.
Свойство 1. Если ср (х) есть собственная функция, соответствующая
