Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
и2•
Теорема 2. Решение внешней задачи Неймана, имеющее непрерывные вплоть до
границы производные первого порядка, единственно, решение внутренней
задачи Неймана определено с точностью до произвольной постоянной.
Доказательство. Рассмотрим сначала внутреннюю задачу Неймана. Пусть М|(м)
и м2(м) -два решения задачи Неймана в области с границей S,
удовлетворяющие одному и тому же граничному условию
MeS.
on on
Тогда их разность и = щ - и2 будет гармонической функцией внутри области
ди(М)
, для которой ь-- = 0 при М е S .
дп
Воспользуемся первой формулой Грина для гармонических функций
IV. Теория потенциала 183
Правая часть равна нулю, значит, и левая часть равна нулю. Тогда в силу
непрерывности функции и(м) и ее первых производных следует, что
ди ди ди дх ду dz
т.е. ц(м) = Ц](м) - и2(м) = const, что и требовалось доказать.
Отметим, что внутренняя задача Неймана не всегда разрешима. Для ее
разрешимости необходимо, чтобы
\\^-ds=\\f2(M)ds = 0.
^ О У1 ^
Необходимость вытекает из свойства гармонических функций. Для
рассмотрения внешней задачи возьмем сферу SRo радиуса R0, где R0 -
достаточно
большое число, и пусть Q3 - объем, заключенный между S и SR . Далее пусть
и | (М) и и2 (м) - два решения внешней задачи Неймана, удовлетворяющие
одному и тому же граничному условию. Тогда их разность есть гармоническая
функция в бесконечной области, для которой
- = 0, MeS, \и{м}<-, дп R
R
(1)
Теперь, применяя формулу Грина для гармонических функций к области Q з,
получим
. 2
\\uj~nds +
с дп J"o
ди
дх
сЭ м Л f дил2
ду)
oz
dQ.
или, в силу (1),
ш
Н3
В силу оценок (1) имеем
( дил 2 W|2 + 'ЗиЛ2
+ + ,ду) кдг)
t/Q - || и ^-а s.
дп
(2)
184 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Тогда из (2) получаем, что при достаточно большом R0 имеем
при любом е > 0, что возможно лишь при условии
ди ди ди дх ду dz
Значить, и = const; так как м(м)->0 при М->со, то м(м)= 0, т.е. и\ fa) =
и2 (м).
§2. Интегральные уравнения для краевых задач
Полученные нами в предыдущей лекции свойства потенциалов позволяют решать
задачи Дирихле и Неймана для любых областей, ограниченных достаточно
гладкими поверхностями, приведением их к интегральным уравнениям.
Рассмотрим решение внутренней задачи Дирихле. Будем предполагать, что
искомая функция и есть потенциал двойного слоя w с неизвестной пока
плотностью ц(м):
Как известно, потенциал двойного слоя есть гармоническая функция. Мы
должны подчинить w тому условию, чтобы ее предельное значение изнутри
равнялось /i(y0);
чЫ=АМ M0eS.
Из теоремы 2 лекции 23 имеем
w; =2яц(А0)+и{А0).
Таким образом, для неизвестной плотности ц(м) получим уравнение
fi (N0 ) = 2лц(а0 ) - и(j;j ds •
IV. Теория потенциала 185
Здесь г - расстояние между точками М и N0 поверхности S.
Полагая Fl(N0) = - fi(N0), -^-( - | = к(М, IV0), приходим к уравнению 2п'
2п 8п\г)
р(#о)=Fl(N0)+ N0 )\x{M)ds . (3)
s
Интегральное уравнение (3) называется интегральным уравнением Фредгольма
второго рода. К изучению таких уравнений мы вскоре перейдем.
Так же точно можно свести и задачу Дирихле для внешней области,
ограниченной поверхностью S, т.е. для бесконечной области, границей
которой служит S, опять к уравнению Фредгольма второго рода.
В самом деле, отыскивая решение снова в виде потенциала двойного слоя из
условия we {N0)=fAN0\ N0 е S, получим (см. теорему 2 лекции 23),
аналогично прежнему, для неизвестной плотности ц(м) we (N0 ) = -2 Л р(м0
) + m(Nо).
Откуда
мЮ-^-f HeMfjTU:
271 2п s дп\г )
вводя обозначение - ^ ^ = Фх (N0 ), получим
2тг
р(#0 ) = Ф, (N0 ) = JJk(M, N0 )ц(ЛГ0 )ds. (4)
s
Это уравнение есть уравнение того же типа и рода, что и предыдущее.
К интегральным уравнениям приводятся также внутренняя и внешняя задачи
Неймана.
Будем искать решение внутренней задачи Неймана в виде потенциала простого
слоя
и(хо,Уо^о)= v(xo,Уо'2о)= •
5 г
Как и выше, из формулы (5) (см. лекцию 23) имеем
М ,УЙ°)+2М дго)=у2(дго),
_ОП0 J; дп0
186 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики откуда
2л '
2л '
5 А.,.
дп0 \г
Полагая - /2 (N0) = F2 (N0 ), получим для р(м) уравнение 2 к'
lAo)= F2 ("о ) - ЦАМЩМ, N0 )ds.
S
(5)
Наконец, если искать решение внешней задачи Неймана в виде потенциала
простого слоя v, будем иметь согласно формулы (5) лекции 23 соотношение
д V(N о )
дпп
dv{N о)
9 "п
-2nii(N0)=f2(N0)
Полагая
цК)=-^/2(^о)+^-1ИА/>
2л
2л 1
дп0 \г
-2-/2(^о)=Ф2(^о).
2л
получим для неизвестной плотности р^о) уравнение
р(^0) = Ф2 (N0) + JJ К(М, )n(M)ds.
(6)
Если нам удастся найти такие функции р(м), удовлетворяющие уравнениям (3)
- (6), то соответствующие задачи математической физики будут решены.
Лекция 25. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости
Мы разобрали довольно подробно уравнения Лапласа и Пуассона в
пространстве. На практике часто бывает, что функция и не зависти от
одного
IV. Теория потенциала
187
из переменных, например z. Тогда уравнения переходят в уравнения с двумя
независимыми переменными. Те же самые задачи, которые мы ставили для
