Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
удаленной точки. При этом задача Дирихле получает определенное и
единственное решение.
Во внешней задаче Неймана нужно по-прежнему искать решение, равное нулю
на бесконечности, но в отличие от прежнего эта задача уже не будет,
вообще говоря, иметь решения.
Необходимое и достаточное условие существования такого решения
будет
\f2{M)dl = 0,
С
где /2 (м) - значения нормальной производной на контуре.
Можно аналогично, как и в предыдущей лекции, свести задачи Дирихле и
Неймана к интегральным уравнениям.
Для плоской задачи интегрирования уравнения Лапласа существует еще один
чрезвычайно мощный метод, основанный на применении теории функций
комплексного переменного. Мы укажем лишь сущность этого метода, не
останавливаясь на нем подробно.
192 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Рассмотрим какую-либо аналитическую функцию co(z) =u + iо комплексного
переменного z = х + i у. Считая независимыми переменными х и у и применяя
оператор Лапласа к со, получим
д^со д2а "/ \ .2 "г \ "
Лсо =--н---------- = co(z)+z co(z)=0.
дх ду2
Отсюда следует, что функция co(z) является гармонической функцией
переменных х и у. Следовательно, ее действительная и мнимая части и(х, у)
и и(х,у) порознь будут гармоническими в области аналитичности co(z).
Введем новое независимое комплексное переменное д = ^ + *т], положив
z = v(q),
где у - какая-нибудь аналитическая функция. Тогда
х = х(^,л), у = у($/п).
При этом аналитическая функция co(z) перейдет в аналитическую функцию
переменного с;:
(r)*fe)=co(vfe))-
Следовательно,
и' ц) = м(х(^, л), yfe, ц)), и* (4, ц) = и(х(^, л), yfe, л)) будут снова
гармоническими функциями переменных Л-
Как доказывается в курсах теории функций комплексного переменного,
формулы (4) осуществляют конформное отображение плоскости х, у на
плоскость г\, причем любое конформное отображение может быть получено
таким образом. Итак, гармоническая функция переменных х, у в некоторой
области остается гармонической, если эту область подвергнуть конформному
преобразованию.
Для любой односвязной области D плоскости х, у получаем следующий метод
решения задачи Дирихле. Найдем конформное отображение (4), переводящее
область D в круг. Как известно, такое отображение существует.
IV. Теория потенциала 193
Функция и (<;, г|) должна быть гармонической в круге функцией,
принимающей на границе заданные значения. Такую функцию можно построить
при помощи формулы Пуассона, возвращаясь к переменным х, у, получим
решение рассматриваемой задачи.
Задачи
1. Найти логарифмический потенциал круга с постоянной плотностью.
2. Найти логарифмический потенциал простого слоя отрезка с постоянной
плотностью зарядов.
3. Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с постоянной
плотностью моментов.
4. С помощью потенциала двойного слоя решить первую краевую задачу для
уравнения Лапласа:
а) вне круга;
б) в полуплоскости.
V. Интегральные уравнения Лекция 26. Уравнения Фредгольма и Вольтерра
Мы уже видели в прошлых лекциях, что решения некоторых задач
математической физики приводятся к решению линейных интегральных
уравнений. Ниже мы изложим начальные сведения о таких уравнениях. Для
простоты записи будем рассматривать одномерный случай. Все результаты
верны и для многомерного.
§1. Классификация интегральных уравнений
Уравнение вида
ъ
ф(х)-X \К(х, s)ds = /(х), (1)
а
где ф(х) - искомая функция, /(х), K(x,s)- известные функции, X - числовой
параметр, называется интегральным уравнением Фредгольма второго рода.
Если /(х) = 0, уравнение называется однородным, в противном случае -
неоднородным. Функция K{x,s) называется ядром интегрального уравнения.
Уравнение вида
X
ф(х)-X |АГ(х,5')ф(5')Д5 = f{x), (2)
а
V. Интегральные уравнения
195
называется интегральным уравнением Вольтерра второго рода. Уравнение (2)
является частным видом уравнений Фредгольма (1). Действительно, если
положить
то уравнение Вольтерра (2) можно записать как уравнение Фредгольма с
называются интегральными уравнениями Фредгольма первого рода, а уравнения
мать как действительные, так и комплексные значения.
Характер интегрального уравнения в существенном определяется свойствами
его ядра. В приложениях часто приходится иметь дело с непрерывным ядром,
но встречаются и разрывные ядра.
§2. Метод последовательных приближений. Понятие о резольвенте
x<s <Ъ, a <s <х,
а
Ядра К |(х,.?) указанного вида иногда называется ядрами Вольтерра.
Уравнения вида
ь
а
}х(х,х)ф(5,)й?5' = /(х)
а
называются уравнениями Вольтерра первого рода.
Заметим, что параметр X и функции ф(х), K(x,s) и /(х) могут прини-
Мы докажем существование решения уравнения (1) (при достаточно малых
значениях | X |) методом последовательных приближений.
196 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Для
простоты выкладок будем предполагать, что:
1) ядро k(x,s) непрерывно в квадрате а < x,s <b; тогда оно ограничено
некоторой константой А, \ К | < А;
2) функция /(х) непрерывна на отрезке \a,b\, следовательно, она
