Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
собственному значению X, то С ф(х) - где С- произвольная постоянная,
также является собственной функцией, соответствующей тому же X.
Постоянный множитель С можно выбрать так, чтобы норма собственной функции
С ф (х) т.е.
(Ь
IIе ф| = \с2<у2 (х)d х
\а
Свойство 2. Если две собственные функции ф1 (х) и ф2 (х) соответствуют
одному и тому же собственному значению X, то, каковы бы ни были посто-
V. Интегральные уравнения 211
янные С] и С2 функции С,ф| (х)+С2ф2 (А) также являются собственными
функциями, соответствующими тому же собственному значению X.
Докажем
Свойство 3. Собственные функции ф| (х) и ср2 (х)
соответствующие различным собственным значениям Xt и Х2 ортогональные на
отрезке \a,b\ т.е.
ь
|ф! (х) ф2 (х) dx - 0.
а
Доказательство. Имеем тождества
1 ъ 1 ь
Т- (Pi (х) = \К (х- л) Ф1 (s') ds, - Ф2 (х) = \К (х, л) Ф2 (s) ds.
а 2 а
Первое из них умножим на ф2(х), второе на ф|(х) и почленно вычтем
результаты один из другого. Полученное тождество интегрируем по х по
отрезку \a,b\:
| | 1 * ьь
\ ОТ 1СР1(х)ф2(х)й?х= Ф2 ( / dx dS~
'Ч 2 J а аа
ЬЬ
- ||^(х,л')ф2(х) Ф|(-х) ds dx.
аа
Меняя порядок интегрирования во втором члене правой части равенства и
учитывая симметричность ядра, получим
ьъ ьъ
|| А' (х, л) ф2 (5) ф! (х) ds dx~ 11 А' (x, 5) ф! (.у) ф2 (х) ds dx.
а а а а
Следовательно,
1 1 1 *
т т- I ф| С)ф2(*)dx =0.
Л1 К2 ) а
Отсюда и следует ортогональность.
212 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Если ортогонализировать собственные функции, соответствующие одному
собственному значению X, то можно утверждать, что любые две линейно
независимые собственные функции срДх) и ф2(х) ортогональны. Таким
образом, можно считать, что семейство собственных функций является
ортонормированным.
Свойство 4. Все собственные значения интегральных уравнений с
симметричными ядрами вещественны.
Доказательство. Предположим, что X = а + г'(3, (3^0, есть комплексное
собственное значение, а ср (х) = \|/i(x)+ Д|/2(х) - соответствующая ему
собственная функция. Тогда
Ъ
\|/| (х) + /Ч|/ 2 (а) = (а + /р) |К (х, .у) [\|/1 (а) + /д|/ 2 (a)] ds.
а
Отсюда следуют тождества
ъ ь
у, (х) = a jK (х.у)^ (s)ds - Р JA (х,.у)ф2 (s)ds,
а а
Ъ b
Ф2(х) = а (x,s)\|/2 {s)ds - Р \К (a,a)v|/[ (s)ds.
а а
Следовательно,
ь
\|/1 (л') - /\|/ 2 (л ) = (а - /р) | К (а, л) [\|/1 (х) - /\|/ 2 (х)] ds.
а
Таким образом,
А, = а-/р и ср (х)= фДх)-нд2(х) также являются соответствующими друг
другу собственным значением и собственной функцией. Поскольку X Ф X (ибо
р ф 0), то по свойству 3 функции ф (х) и ф (х) ортогональны, т.е.
Ъ Ъ 2
I ф(х)ф(х)с& = ||ф(х)| с/х =0.
а а
V. Интегральные уравнения 213
Отсюда ввиду непрерывности функций фДх) и Ф2(х) следует, что \|/1 (х) = у
2 (х) = 0. А тогда ф (х) = 0, что невозможно. Свойство доказано.
Свойство 5. На каждом конечном отрезке \л.в\ содержится лишь конечное
число собственных значений.
Доказательство. Допустим, что на некотором отрезке \Л, 5] содержится
бесконечное множество собственных значений. Выберем из этого множества
бесконечную последовательность собственных значений {А"}. Пусть (ф"(х)} -
последовательность соответствующих им собственных функций, а ряд
С, (х) Ф| (5) + С2 (х) Фг (s) + ••• + С" (х) ф" (у) + ...
является рядом Фурье ядра K(x,s). Поскольку семейство {фл(л)} является
ортонормированным, то коэффициенты
С"(х) = 7-Ф"(х)
Кп
и справедливо неравенство Бесселя
Z*M<6fK2(x.s)ds.
и=1 а
Следовательно, для любого целого р > 0
?^<6JX2(x.s)ds.
И=1 Хп а
Интегрируя это неравенство по отрезку \а, h\, получим
^Аг< \\K2(x,s)ds dx. (1)
n=lXn а а
Так как Хп е[^0,?0], то Х2п <С2, где С2 = max {Aq ,Bq ). Тогда из (1)
получаем
р 1 * ^
Zi-Т - J \K2{x,s)ds dx, n-lB2 а а
СО J
что невозможно, ибо ряд ^ расходящийся.
п=\В
214 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Из свойства
5 следует, что:
1) все собственные значения можно занумеровать в порядке роста их
абсолютных величин, т.е.
2) если спектр собственных значений бесконечный, то \Хп | -> со при п ->
со.
Свойство 6. Каждому собственному значению X соответствует конечное число
q собственных функций ф] (х), ф2(х),..., фи(х).
Доказательство. Допустим, что некоторому X соответствует бесконечная
последовательность собственных функций ф|(х), ф2(х),..., фп(х),... . Из
неравенства Бесселя следует, что для всякого целого р > 0 выполняется
неравенство
п=1 X а
Откуда интегрированием получаем
р -| ъ ъ ъ ь
'Y4-<WK2(x,s)dsdxwmi р< X2 J jK2 (х,s) ds dx, л=\Х а а а а
что невозможно.
§ 2 Теорема о конечном спектре
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Для того чтобы спектр симметрического ядра был конечным,
необходимо и достаточно, чтобы ядро было вырожденным.
Доказательство. Из изложенного в лекции 27 следует, что вырожденное
симметрическое ядро имеет лишь конечный спектр. Верно и обратное: если
V. Интегральные уравнения 215
ядро K(x,s) имеет конечный спектр, то оно вырожденное. Действительно,
пусть Х] ,Х2,...,Хп - спектр ядра, а фДх), ср2(х)>¦¦¦>ф"С0 - совокупность
