Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
уравнения (12) имеет вид
ф(*)=/(*)+ Есг+гфг+Дл)+^гЕ' т-- фД*)>
1=0 Ej - кг
где X означает суммирование по всем значениям i, кроме r,r + \,...,r + q
. Задачи
1. Пусть К(х,у) - симметричное непрерывное ядро, Кп(х,у)~ повторное ядро
ядра К(х,у). Доказать формулы:
а) K(x,y)\2dy;
т-1 Хт а
оо 1 b Ь -
б) X - - Jj]^(x,y)| dxdy;
m=1 а а
в) (I/,/).
Ш=1 Xk
L - интегральный оператор я ядром к(х,у)\
СО 1 Ъ Ь 2
в) f^-= \\\кр(х,у)\ dxdy, р = 1,2,.... т=\ Хт аа
Здесь ф,"(х)- собственная функция соответствующая собственному значению
Хт.
2. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции
интегрального уравнения
1
<y(x) = X\K(x,y)<y(y)d у о
226 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
в следующих случаях:
[у, если 0<у<х<1;
fx(l-y), если 0<х<у<1,
б) Kix,y) = \
[y(l-x), если 0<у<х<1;
Г sin х sin (I-у), если 0 < х < у < 1,
в)^(х,у) = 4V '
I sin (1-х) sin у, если0<у<х<1.
I
3. Решить интегральное уравнение cp(x)= 'k\K{x,y)^{y)dу + /(х), если
о
, ч ,, п . ч Гх, если О<х<0 у<1,
/(х)еС2[0Д] и К(х,у) = \ У
(у, если0<у<х<1.
VI. Специальные функции
Лекция 30. Функции Бесселя. Полное разделение переменных в уравнении
колебаний круглой мембраны
При решении многих задач математической физики приходят к линейному
дифференциальному уравнению
2 , j.. ( "П
'-7
d у 1 dy
у = 0. (1)
d х2 х dx
К такому уравнению мы придем, например, при решении задачи о колебании
круглой мембраны, об остывании круглого цилиндра методом разделения
переменных, если будем пользоваться цилиндрическими (или полярными)
координатами. Уравнение (1) носит название уравнения Бесселя. В курсах
аналитической теории дифференциальных уравнений и в курсах теории
специальных функций устанавливается ряд важных свойств решений этого
уравнения, которые мы приведем без полного доказательства.
§1. Функции Бесселя
Так как уравнение (1) имеет особую точку х = 0, то его частное решение
следует искать в виде обобщенного степенного ряда:
у(х)=ха f^akxk (а0 7 0) (2)
к=0
Подставляя ряд (2) в уравнение (1), получим (а2 - v^a^x0 + [(а + l)2 -
v2]a|Xc'+1 + ? |(а + к)2 - v2 ]а4 + ак_2 }xCT+i = 0.
к =2
"1=0, (3)
228 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теперь приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х, будем
иметь
a2 -v2 = 0,
(a+l)2-v2
(ct+&)2-v2 ak+ak l= 0, к = 2,3,... .
Из первого уравнения (3) следует, что
а = +v.
Далее предположим, что
(а + к)2 -V2 = (а + А + v)(a + к - v) ^ 0, то есть а + v или а - v (и
соответственно - 2v или 2v) не равно отрицатель-
ному целому числу. Тогда из (3) получаем рекуррентную формулу для
определения ак через ак_2:
ак ,
**=-/ , у ь V (4)
(а + к + v Да + к - v)
Так как, а1 = 0, то из формулы (4) заключаем, что все нечетные
коэффициенты равны нулю.
Пусть а = v. Из (4) следует, что каждый четный коэффициент может быть
выражен через предыдущий:
а
а
2т-2
2т о/ \
2 \т + v)т
Последовательное применение этой формулы позволяет найти а2т через а0
ап
а2 1 0
л2т
21т ml{v + l)(v + 2)---(v + т)
Теперь воспользуемся свойством гамма-функции r(,s):
r(s + l)= 5Г(5)= ¦•¦ = 5(5 - l)---(s - и)г(^ - и). Если 5 - целое число,
то
T(s + l) = s/
VI. Специальные функции Коэффициент а() до сих пор оставался
произвольным. Положим
1
229
и, используя отмеченное выше свойство гамма-функций, получим
Внося найденные значения коэффициентов я2а+1 и а2к в РЯД (2)> получим
частное решение уравнения (1). Это решение носит название функции
Используя, второй корень а = -v, можно построить второе частное решение
уравнения (1). Оно может быть получено, очевидно, из решения 95)
Для нецелых значений v частные решения (5) и (6) уравнения (1) будут
линейно независимыми, так как разложения, стоящие в правых частях формул
(5) и (6), начинаются с разных степеней х.
Для целых значений v = т функции Бесселя порядка т и порядка - т уже не
будут независимыми:
Для того чтобы найти общее решение уравнения (1) в этом случае, необхо-
Бесселя 1-го рода v- го порядка и обозначается обычно через Jv (х). Таким
образом
(5)
простой заменой v на - v , так как уравнение (1) содержит только v2 и не
меняется при замене v на - v:
(6)
димо построить второе, линейнонезачисимое от Эу(х) частное решение. Для
этого введем новую функцию Yy (х) по формуле
230 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Введенная функция Yv(x) называется функцией Бесселя второго рода v-ro
порядка. Эта функция является решением уравнения (1) и в том случае,
когда v - целое число, причем функции Jv (х) и Yv (х) линейно независимы
при любом . Следовательно общее решение уравнения (1) может быть
представлено в виде
y = clJv(x)+c2Yv(x), где сх и с2 - произвольные постоянные.
Отметим, что для функций Бесселя первого и второго рода имеют место
следующие рекуррентные соотношения:
dJv (х)
dx
dJv(x)
dx
= -Jv-i(x)+-Jv(x)
dYv(x)
dx
dYv (x) dx
= >; ! (x) - - (a)
= -Yv-l(x)+-Yv(x)
Jv+] (x)-^./,(x)-./l, , (x), Y+l(x) = 2Ji;(x) -7=1(x).
