Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
пространства, мы можем теперь ставить на плоскости оху для уравнения
Рассмотрим некоторые свойства таких двумерных задач, отличающие их от
трехмерного случая.
Совершенно так же, как и в пространстве, легко доказать, что функция,
гармоническая в некоторой области D плоскости оху, достигает своего
максимального и минимального значений на контуре этой области. Отсюда
следует единственность решения задачи Дирихле для любой ограниченной
области. Однако задача Дирихле для неограниченной области в прежней
постановке смысла не имеет. Ставить вопрос об отыскании гармонической
функции, равной нулю на бесконечности, здесь не имеет смысла. Дело в том,
что решения, обращающегося в нуль на бесконечности, вообще говоря, не
существует, и вопрос о единственности такого решения лишен содержания.
Нетрудно проверить, что функция
дх ду
есть гармоническая функция переменных х и у. В самом деле,
д х2 г2+ И
<Э21п г _ 1 2 (у-уо)2
дх2 г2 г4
Э21п г _ 1 2(х-х0)2
_ 1 Л
откуда
A In- = 0.
Г
188 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Приведем аналог интегрируемой формулы Грина в пространстве для плоскости.
Пусть D - некоторая область на плоскости оху, ограниченная контуром С, а
п - направление нормали к этому контуру, внешнее по отношению к области
D. Проводя рассуждения, подобные тем, которые были проведены для
трехмерного случая, получим основную интегральную формулу Грина на
плоскости
Q м( М0) = J
с
|П1МУ)_"(м)А|
г дп д п\
dl - |JA и(М) In - dxdy,
где
2 я, если М0 лежит внутри D,
Q = < я, если М0 лежит на границе С,
О, если М0 лежит вне D.
Если м(м)- гармоническая внутри D функция и М0 лежит внутри
D, то
2 жс
dl.
§1. Основные задачи
Задача о нахождении решения уравнения Пуассона
А и = р(х,у)
на всей плоскости, обращающегося в нуль на бесконечности, для уравнения с
двумя переменными, вообще говоря, неразрешима. Заметим, что интеграл
00 ТО 1
} } р In - d х d у, г
если р отлично от нуля лишь в конечной области, есть все же частные
решения уравнения Пуассона, но, вообще говоря, неограниченно растущие на
бесконечности.
IV. Теория потенциала 189
Задача Дирихле для полуплоскости при некоторых ограничениях на граничную
функцию имеет решение в классе функций, обращающихся в нуль на
бесконечности. Пусть функция /[ (х) удовлетворяет неравенству
где а >0.
Решение уравнения
Ли = 0
при условии
и = f\(х) ПРИ У = 0> обращающееся в нуль на бесконечности, имеет вид
1 оо Sin-
M(xo>Vo) = - dx-
Л-оо Ой
Задача Неймана для полуплоскости не только равных нулю на бесконечности,
но даже и просто ограниченных решений не имеет.
Задача Дирихле для круга решается приемом, аналогичным прежнему. Так
решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге:
Л и = 0, р = д/х2 + у2 < а,
"и=а=/((р)
дается формулой
п (а2-
М(Р"Ф) = f /(^) 2 9 ( Ч---2dyV>
2 п_л р -2 a pcos((p-i|/J + a в том случае когда функция /(ф) является
непрерывной.
Формула (1) называется интегралом Пуассона.
Решение внешней краевой задачи, очевидно, имеет вид
1 п (р2-а2)
М(Р'Ф) = ^- I /Ы 2 ^ ( ч-
2 7i_co р -2 а р cos((p-\|/) + tf при р > а и и(р,ф) = /(ф) при р = а.
190 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§2. Логарифмический потенциал
На функции двух переменных можно перенести также понятие о потенциалах.
Интеграл вида
о = |р(м) In - dl
с г
называется логарифмическим потенциалом простого слоя. Это гармоническая
функция вне и внутри области D, ограниченной контуром С. Функция эта
непрерывна при переходе через С, а ее нормальная производная терпит
разрыв.
Обозначим через п0 внешнюю нормаль к контуру С в точке N0. Если
д"(мо) "
М0 е С, то ясно, что существует производная
дщ
дпп
дпп
(2)
Оказывается, что интеграл (2) имеет смысл в случае, если точка М0(х0,у0)
г глс. ГЭо](Тэи]
лежит на границе С . Обозначим через ------------- предел интеграла
[_дп0\. ^L5"oJJ
(2) при стремлении точки М0 в направлении нормали п0 к точке N0 е С
изнутри (извне) области D. Тогда справедливы формулы
Эи
Эип
= я p(iV о ) -
Эи(А0)
Эип
дпп
= -тгц(А0) +
Э и(А0 )
оип
Интеграл вида
<в(м0)~ - /р(м)-I ln-\dl г дп\ г)
(3)
называется логарифмическим потенциалом двойного слоя. Это гармоническая
функция как внутри, так и вне области D, ограниченной контуром С. На
контуре С эта функция терпит разрыв.
IV. Теория потенциала 191
Если точка М0(х0,у0) лежит на контуре (М0=А0), который мы предполагаем
достаточно гладким, то интеграл (3) имеет смысл. Обозначим через соДд^о)
и <Be(jV0) пределы интеграла (3), когда точка М0 стремится к точке N0 на
контуре С изнутри и извне области D соответственно. Можно показать, что
имеют место соотношения
ае iNo ) = "Я р(^о ) + 4^о ) "г OVo ) = п )•
Аналогично пространственному случаю можно поставить задачу Дирихле и
Неймана также и для плоскости. При этом, однако, будут некоторые
особенности во внешних задачах.
Во внешней задаче Дирихле вместо обращения и в нуль на бесконечности
нужно требовать ограниченности этой функции в окрестности бесконечно
