Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
всех собственных функций. Рассмотрим симметрическую непрерывную функцию
К{п\х,s) = К(х,s)- ?0-ф, (х) ф, (5).
i=\ hj
Если K^(x,s)it О , то по теореме 1 она имеет собственное значение р и
соответствующую собственную функцию ф(х):
ь , .
\|/ (х)= pjA^"'(x, з)ф (s)ds .
а
Функция \|/ (х) ортогональна всем собственным функциям ф; (х) ядра К (х,
5) ибо
Ъ Ь Ъ . ,
J\|/ (х)ф (x)dx = р J '"'(x,,s)- ф (х)\|/ (s)d s dx =
а а а
= pJi|/(0 l^K (х, Фд (х) dxds =
а а к.
Ь [ъ
= в Jv СО j К (х> -О • ф? (х)dx - ds =
а [а ^q \
= njv(0
7-ф, (0-7-9, (О
Kq Kq
ds = 0.
Далее p и \|/ (х) суть собственное значение и собственная функция ядра К
(х.л), так как
р (х,5)ф (s)cfe = р)\к "(х,s)- t^MliCOj ^ds =
a a { i=l ^1 J
b
- P J К " (x, ,v) \|/ (v) ds - \|/ (x).
a
Поскольку v|/ (x) есть собственная функция ядра К (х, v) и функции Ф1СО
Ф2(х)>¦••< Фя(х) образуют полную систему собственных функций ядра K(x,s),
то Ф (х) должна быть линейной комбинацией функций
216 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
ф, (х), ф2(хфи(х). Но это невозможно, так как ф (х) ортогональна всем
этим функциям. Следовательно, Кп (х,у)= О или
/=1
т.е. ядро К (х,у) является вырожденным. Теорема доказана.
§ 3 Спектр итерированных (повторных) ядер
Положим
ь
Ац>= JX (х, у) ф(у) ds.
а
Из определения итерированных ядер следует, что
И"ф = и(и"_1ф)= \Кп (х, s) ф(у) ds.
а
Для собственных функций срДх) и собственных значений Хк ядра ^(x.s)
справедливы равенства
<?к(х)='ккА<?к =ХкА(ХкА(?к)=Х2кА2(?к = ...
- = КАУк =К \Кп (х^')фЛ6')л
а
из которых следует
Теорема 3. Если ф/; (х) и Хк суть собственные функции и собственные
значения ядра К (x,s), то фДх) и Хпк будут собственной функцией и
собственным значением ядра Кп (х,у).
Справедлива также
Теорема 4. Если р есть собственное значение ядра Кп (х,.у), то
собственным значением ядра К (х, .у) будет, по крайней мере один из
вещественных корней п-й степени числа р.
V. Интегральные уравнения 217
Доказательство. Легко показать, что если hx,h2,...,hn - корни уравнения
hn =р,то
А/ +hs2 +... + hs" =0 (2)
ДЛЯ 5 = 1,2,..., и -1 .
Пусть теперь \|/ (х) - собственная функция ядра Кп (x,s), соответствующая
собственному значению. Определим функции срДх) по формулам
Ф4(х) = ~|у + + h%A2\\i + ... + hi *] (3)
Суммируя равенства (3) и принимая во внимание (2), получим
V (*)=!>*:(*) (4)
к= I
Далее применяя оператор А к равенству (3) и умножая результат на hk,
получим
=~+ h/c lAn V)+ - hkAn\\f п п
или
Мф* =Чк{х)--у{х)+-КА"у = чАх)'
п п
поскольку hi - р и р Ап\\i = \|/. Таким образом, не равные тождественно
нулю функции срДх) являются собственными функциями ядра К (х, s), a hk -
соответствующими им собственными значениями. По свойству 4 ядро K(x,s)
имеет лишь вещественные собственные значения. Следовательно, функции
срДх), отвечающие комплексным корням hk, тождественно равны нулю. Теорема
доказана.
Лекция 29. Теорема Гильберта - Шмидта.
В этой лекции мы докажем одну из фундаментальных теорем теории линейных
интегральных уравнений, имеющую многочисленные приложения теорему
разложения.
218 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§1. Разложение интегрированных ядер
Напомним (см. предыдущую лекцию), что если ср,-(х) и Xt суть собственных
функции и собственные значения ядра К(х,у), то срДх) и X" являются
собственными функциями и собственными значениями интегрированного ядра
Kn(x,s).
Теорема 1 .Для всякого п > 3 справедливо разложение
КпМ,1<ьШд, (1)
'=> А;
в котором ряд сходится абсолютно и равномерно в квадрате а < x,s <Ъ.
Доказательство. Докажем сначала, что ряд, стоящий в правой части (1),
сходится абсолютно и равномерно. Для этого оценим отрезок ряда
Ф,2(х) , Ф/Р
.Л Л .
(2)
m+q 1 1 т+а
Е гддкДЛфДЛЛ---у- Е
лл? ^ л \<> х. .
г=т rW 2 \^т\ 1=т
Мы при этом воспользовались неравенством
\а-Ъ\<^(а2 +Ъ2)
и тем, что | Х{\ монотонно стремятся к бесконечности при г ->оо. По
неравенству Бесселя
2(х) *
(3)
*=1 а
где М = const. Поэтому из (2) с учетом (3) имеем
Е^|Ф,(х)ф1(ЭЛ-^. (4)
г=т|Л/| | Хт\
Так как |Ат|->оо при да->оо, то из неравенства (5) по критерию Коши и
следует абсолютная и равномерная сходимость ряда (1).
V. Интегральные уравнения 219
Пусть
СО |
/=1 A j
Нам надо доказать, что Кп(х,з) = ф{х,s). Предположим, что это неверно.
Тогда симметричная функция
Q(x, s) = Кп (х, 5) - ф(х, s), как известно, имеет собственное значение р
и собственную функцию \|/(х), т.е.
ь
1|/(х) = р \Q(x, v)\|/(.v) ds .
a
Функция ортогональна всем собственным функциям ср Дх) ядра так как
ь ь ь
J\|/(x)cp;(x)lf X - р J ^(х.^у^ф, (х)й/ s d X -
а а а
Ь Ь Г сс I 1
= р)J к"(х,5)- Z-Фу(*)фу(s)>q>i(x)dxds =
а а [ j=X*"j \
= njj\КП (т (x)dx- ds = 0,
а [п A; J
Ъ
поскольку фг(^) = А." |А^и(х,5)фг (х)й,х. Функция \|/(х) является
собственной
а
функцией ядра Кп (х, s), так как
ф(*) = Р\\кп(т5)- Z v(0 ds = р\Кп(х,s)y(s)d s.
а [ г=1 Л,- J а
Следовательно, \|/(х) должна быть линейной комбинацией функций фДх). Но
