Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
б) поверхность цилиндра поддерживается при постоянной температуре и0, а
начальная температура внутри цилиндра равна нулю;
в) с поверхности цилиндра происходит лучеиспускание в окружающую среду,
температура которой равна нулю, а начальная температура равна
м1=о =ио(гУ
236 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лекция 31. Многочлены Лежандра. Определение потен-
циала внутри сферы
Простейшим классом сферических функций являются многочлены Лежандра от
cos0. Эти многочлены мы обозначим как /,(cos0) и определим их несколько
формальным способом - через производящую функцию. Последнее позволит нам
проще и короче получить их основные свойства.
§ 1 Многочлены Лежандра Производящая функция
называется производящей функцией многочленов Лежандра. Разложим эту
функцию в степенной ряд по степеням t.
Получим
многочленами. Эти многочлены носят название многочленов Лежандра. Полагая
в разложении (1) х = 1, получим
Функция
f(x,t)= [l - 2х/ + /2] 2
являются
(1)
' 7 \-t
Следовательно, Рп(l)= 1, п = 0,1,2,... . При х = -1 имеем
/(i>0=-=1+t + .~ + tn +....
поэтому Рп (- l) = (- 0" . Ясно, что
(2)
VI. Специальные функции
dnf
237
С другой стороны, производная п -го порядка
dtn
при t = Ос применением интегральной формулы Коши вычисляется как
д ч
dt" V '
t=о
2nil ?
(3)
где С - замкнутый контур, охватывающий точку ?, = 0. Далее полагая
-y/l - 2х?, + У2 = 1 - ^ z в интеграле (3) и учитывая (2), получаем
/ - t2-1)"
/-(v) : .f: . . А.
(z-x)
Здесь С| - замкнутый контур, охватывающий точку z = x . Теперь, используя
формулу для п -й производной интеграла Коши, будем иметь
п! d"
Рп(Х) = -
У-'Г].
(4)
2" п! dx"
Из формулы (4) следует, что ?2к (х) - четная функция, а Р2к_\ (х) -
нечетная.
3 1
Так для п = 0,1,2 имеем Р0 (х) = 1, Рх (х) = х, Р2 (х) = - х - -.
Дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра
Получим дифференциальное уравнение, решением которого является Р" (х).
Для этого введем функцию w = (х2 - if.
Очевидно, что
\d w
(х2 -1)^-2- - 2 п х w = 0. V ' dx
Дифференцируя это тождество (л + 1) раз, получим
( 2 ,\d"+2 ^ d , л
~'СА А~"( '
- = 0.
dx"
238 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
dnw
Таким образом, функция -----------, а следовательно, и Р"{х)
(поскольку
d х"
и(\ 1 dnW.
Рп[х) = ---------), удовлетворяет уравнению
2Пп! dxn
(l - х1 -эг ~ 2х-- + X у = 0, гк = п(п + \\ d х~ d х
(5)
Это уравнение называется уравнением Лежандра.
Отметим, что полиномы Лежандра можно построить и иначе: искать
ограниченное на отрезке [-1, l] решение уравнения (5) в виде степенного
ряда у{х)~ С0 + С|Х +... + Спхп +... . При X = п (п + l) этот ряд
обрывается на члене с п -й степенью, т.е. при X = п {п +1) решением будет
полином п -й степени, который отличается от полинома Лежандра п -й
степени лишь постоянным множителем.
Свойство ортогональности
Докажем, что многочлены Лежандра ортогональны на отрезке [-1,1], т.е.
1
\pn(x)pk{x)d х-0, если пф к .
-1
Действительно в силу уравнения (5) имеем два тождества: d
d х
d
d x
(,-Ц)
d x
dj\
d x
+ n(n + \)Pn{x)= 0, + k(k + 1 )Pk (x)= 0.
Первое из них умножим на Рк (х), второе - на Рп (х); результаты вычтем
один из другого и полученную разность проинтегрируем по промежутку [-
1,1]. Получим
d (\ x2YPn _P l_ (l x2YPk
dx . 1 dx _ " dx : ] dx _
dx =
= [к {к + 1) - п (и + l)] \Р" (х)Рк (x)dx
-1
VI. Специальные функции
dPn
239
dpk
d х dx
dx =
- (к - n){k + n +1) jPn (x)Pk (x)dx
Следовательно
l
1
\P"{x)Pk{x)dx=1- .
д "V ) k\ i (k-n)(k + n + \)
djk
dx
Pi -
dl\
dx
= 0
при пфк.
Прежде чем вычислить норму многочлена Лежандра, мы докажем справедливость
двух рекуррентных соотношений
(и + l)P"+1 (х) - (2 п + \)х Рп (х) + пР"_х (х) = 0, (6)
р"{х) = 4-[pn+i(x)~ РпАЛ-
(7)
2и +1 dx
Для этого продифференцируем по переменным t и х соотношение (1). Получим
тождества:
?/М. (-1)/(ч ,)
dt (i-2 xt + t2)
d f{x, t) tf{x,t) _dP0 dP, dP"
---------- -t -------\ =-----1-----1 + ... н--1 +...
dx (1-2xt + t J dx dx dx"
Следовательно, имеем
(x + /)[р0 + Pxt + ... + Pnt" + ...]= (l - 2xt + 72)[p1 + 2P2t + ... +
nPnt"_1 + ...|
dP0 dP\ dP
-- +--t + ... + --dx dx dx
Сравнивая в последних тождествах коэффициенты при одинаковых степенях t,
получим равенства (6)
(и + 1) ¦Рп-1 (*) - (2 и +1) X Рп (х) + п Рп_х (х) е= О
И
Р' (..) _ dpn+1 (-0 2х dP" (х) | dP"_x (х) ^
t\P0 + Pxt + ... +Ppt +...|=U-2x7 + 7
...]= (l - 2x7 + 72)
dx
dx
dx
(8)
240 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теперь, дифференцируя соотношения (6), получим
(" + 1)^A!W_(2" + lRW_(,"+1)r^ + "<dW.0.
dx dx dx
И, наконец, исключая из этого соотношения и соотношения (8) произведение
xdP fjf j
, приходим к формулам (7).
dx
Отметим, что с помощью (6) и формул
Р0(х)=1, Д(х)=х
можно определить все многочлены Лежандра, а формулы (7) позволяют
выразить интеграл J Рп (.v) dx через многочлены Ви+1(х) и Рп_1{х).
Для вычисления квадрата нормы многочлена Лежандра
||ри||2 = \pn{x)dx -1
