Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
это невозможно, так как \|/(х) ортогональна всем функциям ф, (х). Таким
образом, нельзя предполагать, что Q{x,s)=t 0.
Замечание. Разложение (1) справедливо и для K2{x,s) (/? = 2), а также при
некоторых дополнительных условиях, и для K(x,s).
220 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§2. Теорема Гильберта - Шмидта
Справедливо утверждение
Лемма 1. Для того чтобы непрерывная функция Q{x) была ортогональной ядру
K{x,s), т.е.
ь
\K(x,s)Q(s)d s = 0, (5)
а
необходимо и достаточно, чтобы она была ортогональной каждой собственной
функции ядра, т.е.
ь
/б(х) ф,(х)с/х = 0, г = 1,2,.... (6)
Доказательство. Имеем
b b ь
|б(х)фг (х) d X = Xj \\K(x,s)<pi(x)Q(x)ds dх =
a a a
= Xj |ф;(5)||А(х,5)2(х)й/х|й,У = 0
при условии (5). Итак, достаточность (5) доказана.
Далее рассмотрим интеграл
ь ь
J=\ \K^(x,s)Q{x)Q{s)d s d x.
a a
Он равен нулю, так как, используя разложение (1) для п - 4 и равенства
(6), получим
J = J J А 4Ф' ^ Q{x)Q{s)ds dx = X - /ф; (x)Q(x)d х/фг (5)6(5) ds = 0.
а а /=1 Av /=1 а а
Поскольку
ь
А4(х,5) = jK2(x,t)K2(t,s)dt,
V. Интегральные уравнения 221
Ъ b (ь
J = J N JК2(х,t)K2(t,s)dt>Q(x)Q(s)ds dx =
ъ = [
b
\K2{x,t)Q(x)d x
\K2(t,s)Q(s)ds
dt = jj lK2{x,t)Q{x)d x I dt = 0.
Следовательно
b
\K2{x,t)Q(x)d x = 0. (7)
Умножая тождество (7) на Q(t) и интегрируя результат по отрезку \a,b\,
получим
b ь
J JК2 (х, t)Q(x)Q(t) d х d t = 0.
a a
b
Заменяя в этом равенстве K2{x,t) интегралом lK{x,s)K{s,t)ds и производя
а
преобразования, аналогичные произведенным выше, получим
ь
lK{x,s)Q(x)d х = 0.
а
Лемма доказана.
Теперь, используя лемму 1, докажем основное утверждение:
Теорема 2 (Теорема Гильберта - Шмидта). Если функция f(x) может быть
представлена в форме
ь
/(х) = \к(х, s)h(s) d s , (8)
а
где h{s) - кусочно-непрерывная на \a,b\ то она представляется рядом Фурье
по собственным функциям ядра K{x,s), т.е.
СО
f(x)=Xfi фД*)*
/=1
222 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
где
fi = |/(х)ф;(х)^х,
а
и этот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке \a,b\
Доказательство. Имеем
Ъ b b b ь
fi = 1/(х)ф/(х)^х = 1Ф/(х)1^(х>s)h{s)ds d х =\h{s)\K(x,s)(yi{x)dх ds =
a a
a a
h; hi
Следовательно, коэффициенты Фурье /¦ фикции f{x) равны -, где hi - коэф-
фициенты Фурье функции h(s), поэтому вместо ряда (9) можно рассматривать
ряд
/(х)= Е~Ф;(Х)-
/=1 hf
(10)
Докажем сначала абсолютную и равномерную сходимость ряда (10). По
неравенству Коши - Буняковского имеем
П+Ц
Z
i-n
Т""Ф<(Х)
hi
>&|2 ,ЫМ/!
i=n 'hi
По неравенству Бесселя
Zli? <jh2(s)ds и Е^т^ \K2(x,t)dt<M.
w.
г-1 a
i
n+q
Следовательно, ряд ?/z,- сходится, поэтому его отрезок ?/z(- может быть
г=1 i=n
сделан меньшим - (где е - произвольное число), если п взять достаточно М
большим. Отсюда для достаточно больших п
< в для всех хе[а,&].
n+q
Е
i=n
^Ф/(х)
hi
Что и означает абсолютную и равномерную сходимость ряда (10).
V. Интегральные уравнения 223
Далее пусть
СО /7
;=1 Л;
Функция Q{x) непрерывна на \a,b\ и ортогональна всем функциям ф,(х).
Следовательно, согласно лемме 1, она ортогональна ядру k(x,s), т.е.
ь
lK(x,s)Q{x)d х = 0. (11)
а
Теперь в силу ортогональности функций Q{x) и срДх)
ь ь \w h. ] ^
\Q2{x)dx= Jg(xT X-Рф,.(х)- /(х)\dx = - Je(x)/(x)dX.
a a U=1 i J a
Заменяя здесь /(x) по формуле (8) и используя (11), получим
b b b b ь
$Q2(x)dх = - jQ(x)j К(х, s)h(s) ds dх = - J/z(,s)JX(x,s)q(x)dx ds = 0 .
a a a a
Следовательно,
Теорема доказана.
1=0 h
Q(x)=Sir- Ф/ (*) - f(x)=0 ¦
i=i Ki
§3. Решение неоднородного уравнения
Пусть в уравнении
Ь
ф(х) = X \к(х, 5)ф(5)с?5 + /(х) (12)
а
X не равно ни одному из собственных значений. Тогда по 1-й теореме
Фредгольма это уравнение имеет единственное решение, которое можно
записать в виде
ф(х) = /(х)+А,1|/(х), (13)
где
ъ
i|/(x)= JX(x,s^(.s)(i.s.
224 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
По теореме Гильберта - Шмидта функция i|/(x) может быть представлена ря-
дом по собственным функциям ядра К(х, 5):
СО
ф(х)=Ес;Ф*(х)- (14)
/=1
Подставим в уравнение (12) функцию ср(х), определенную формулами (13),
(14), получим
оо Ь ( се |
/(х) + XY, ci Ф/ (х) = /(х) + ^ \к{х, 5)\ f(s) + с,, ф,. (s) \d s
СО Ь со Ь
Ес; Ф"(х)= Ja:(x,5)/(s)c/s + kfIci jK(x,s)y>i(s)ds.
i=1 a /=1 a
Применяя теорему Гильберта - Шмидта к функции
ь
\K(x,s)f(s)ds
Ь ф ()
и заменяя d s через -получим
о
ЕофДЛ-Е^фДЛ+^Ео^,
/=1 /=i-1 hj
откуда
fi ^ f, п
С: =-- +--С; ИЛИ С: = ------. (15)
К К ' kt-k
Таким образом, искомое решение уравнения (12) представляется следующим
абсолютно и равномерно сходящимся рядом
00 f-
ф(х) = /(х) + ^Ес-Ч- Ф, (х) • i=\ ht - к
Если X- равно некоторому собственному значению ХГ9 которому отвечают
собственные функции фг(х),фг+|(х),...,фг+(/(х), то
Хг - ~ '*¦ - hr+q.
V. Интегральные уравнения 225
В этом случае из формул (15) получаем
/г = /r+1 = - = fr+q =0
ИЛИ
\АХ)Фг+, (*)dх = 1 = °д.¦.<? ¦
а
При этом коэффициенты сг, сг+1,..., cr+q остаются произвольными и решение
