Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
ограничена на этом отрезке некоторой константой В, | /1 < В. Построим
последовательность функций
cpi(x),cp2(x), ...,ф"(х), ...
по следующему правилу:
ф] (х) = /(х)+ А,рф,Дф0(Д<Ь, (3)
а
где фо(^)- произвольная фиксированная непрерывная функция,
Фз (*) = /(*) + Х\к(х, А')ф1 (-s') d s, (4)
а
Теорема 1. Последовательность (3) - (5) функций ф"(х) равномерно сходится
на отрезке \а, />] к функции ф(х), являющейся решением уравнения (1) 1
при X <
Л{Ь - а)
Доказательство. Преобразуем формулы для получения функций ф"(х).
Подставляя функцию ф, (х) в формулу для ф2(х), получим
b b ь
ф2(х)= f{x)+X\K{x,s)f(s)ds + I? J^x.s) \K{s,t)e?0(t)d t d s.
a a a
Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования, ползшим
b ь
ф2(х)= /(х)+ X JK] (х, s) f(s)d S + X2 |К2(х, ¦S'^q(s) Д
V. Интегральные уравнения
197
где
Кх (x,s) = K(x,s), K2{x,s) = \Кх (x,t)Kx(t,s)dt.
a
Аналогично находим
b b
Фи(х)= /(*)+ ^jA:i(x,i)/(s)i/s + X2 \K2(x,s)f(s)ds + ¦¦¦,
b b
¦ + X"~' \Kn_x(x,s)f(s)ds + Xn |^"(х,5')ф0(5)<75',
где
K"(x,s)= \Kx(x,t)Kn_x{t,s)dt.
a
Предел функции ф"(х), если он существует, равен сумме ряда
ь ъ
ф(х)= /(х)+ Х\Кх{х, s)f(s)ds н--------1-X" j К n(x,s)f(s)d s-. (6)
а а
Докажем равномерную сходимость этого ряда. Для этого оценим интегралы
Имеем
\Kn(x,s)f(s)ds.
\K2(x,s)\< \\Kx(x,t)Kx(t, s)\d t < A2 (b - a),
a
h
K3(x,.s')] < J| Kx(x,t)K2(t,s) \ dt < A3(b - af,
поэтому
\Kn(x,s)\<\\Kx(x,t)Kn_x(t,s)\dt<An(b-a)n \
\Kn(x,s)f(s)ds
< A" (b - af-1 j| f(s)\ds<AnB(b-a)"
198 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Следовательно, числовой ряд
СО
^АпВ\Х\п{Ъ-а)л (7)
/7=0
является мажорантным для ряда (6). Если Х<-А-т0 рЯД (7) сходится.
А(Ь - а)
Следовательно, при таких X ряд (7) сходится, а вместе с ним и
последовательность функций ф"(х) равномерно сходится к функции ф(х). Эта
функция является решением уравнения (1). В самом деле, переходя в формуле
(5) к пределу при п -> со , получим
ъ
ф(х)= X ^(х, ¦")((>(*) z/s + /(х).
а
Переход к пределу под знаком интеграла здесь законен, так как
последовательность сходится равномерно.
Заметим, что предел Цщ ф"(*)-ф(х) не зависит от выбора функции
/7-" СО
Ф0(х) (нулевого приближения). В самом деле, если существует еще одно
решение у(х) уравнения (1), то, полагая в процедуре построения функций
(3) - (5) ф() (х) = \|/(х), получим
Ф1(х)=у(х), ф2(х)=\|/(х), ...,фл(х)=у(х), ....
Эта последовательность имеет пределом функцию ф(х). Но вместе с тем
очевидно:
lim Ф"Ц) = у(А-
/7-" со
Таким образом, ф(х)= у(х). Теорема доказана.
Поскольку ряд (7) сходится при X < --г, то при таких же X схо-
А{Ь - а)
дится и ряд
f^A"\X\n~l{b-a)n-1 .
72=1
V. Интегральные уравнения 199
Но этот ряд является мажорантным для ряда
СО
? Г*"(*,*)• (8)
И=1
Следовательно, ряд (8) сходится равномерно. Поэтому ряд (6) можно
записать в виде
ф(х) = /(х) + X jj f; Я,"-1 Кп (х, 5)] f(s)d S
а 1л=1 J
ИЛИ
ь
ф(х)" f{x) + l,\R{x,s,\)f(s)ds, (9)
а
где функция
СО
R(x,s,X) = ^ Kn(x,s)
Л=\
называется резольвентой уравнения (1).
§3. Уравнения Вольтерра
Если мы описанную выше процедуру применим к уравнению Вольтерра (2), то
получим последовательность функций:
ф](х)= /(х) + Я ^(х^фоОй?-?,
а
х
ф2(х)= /(х)+Я|А^(х,5)ф1(5')й?5',
а
х
ФП 00 = Ах) + Х\к(х, ^)ф"-100 d S,
Эта последовательность равномерно сходится на [a, b\ при любых значениях
параметра Я. В самом деле, очевидно, справедливы неравенства:
200 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
где |фо(5)|<Л0.
I Фз М ИI /(*) I +1 Х I JI К(х-л) 11 Ф1 (л) I d s ~
а
х ( - ?
< В + I X | А}{я + | X |А50(л- - а)}<7л' = В +1 X\АВ(х - а)+ \ X\2 А2В0
^.
а 2/
Вообще
\ц>"(х)<В + \Х\АВ(х-а)+-- + \Х\п~] А"-1В^Х~а^ +\Х\п А" В0^Х~ ^ .
Поскольку ряд
(х - af
^В\Х\п Ап-
и=1 п!
равномерно сходится на отрезке \a,b\ и его частичные суммы являются
мажорантными для функций ср"(х), то последовательность {ф"(х)} также
сходится равномерно; ср(х) - Цт фи(х), очевидно, является решением
уравнения
"->•00
(2) и притом единственным. Таким образом, справедлива следующая
Теорема 2. Если K(x,s)e C{[a,Z>]x \a,b\} и /(x)eC([a,i]), то
последовательность приближения для уравнения Вольтерра (2) сходятся при
всех значениях X. Предельная функция является единственным решением этого
уравнения.
Задачи
1. Пусть L- интегральный оператор с непрерывным ядром К{х,у) (Z/
= ^к(х,у) f(y)dyj. Доказать, что операторы Lp = l(lp 1 ] р = 2,3,...,
являются интегральными операторами с непрерывными ядрами Кр(х,у) и эти
ядра удовлетворяют
Кр{х-У)= \Kix.s)Kp_x(s,y)ds.
V. Интегральные уравнения 201
2. Показать, что резольвента /?(х,л,Я) непрерывного ядра К(х, л)
удовлетворяет при Я < -А-г (| Л'(х,л) < Л ) каждому из уравнений:
JTl О I
Ъ
а) R(x,s,X)-XjK(x,t)R(t,s,X)clt + K{x,s);
а
b
б) R(x,s,X)= XjK(t,s)R(x,t,X)dt + K(x,s);
а
в) 8*(*¦*¦*¦) = )R(X,t>x)R(t,S,X)dt.
d^ a
3. Показать, что дифференциальное уравнение
У") + ах {х)у^п~^ + --- + ап(х)у = р(х) с непрерывными коэффициентами at
