Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
плотностью; интеграл /3 называется потенциалом простого слоя, а /2(м) -
его плотностью.
§1. Потенциал объема
Рассмотрим потенциал объема
и(хо > То > zo) = dQ. (r = \M0M\), (1)
п г
где Q - конечная область. Предположим, что плотность р (м) ограничена и
интегрируема в Q. Интеграл (1) является собственным, если точка М0 лежит
вне п(г ф О). В этом случае функция и (Л70 ) непрерывна и имеет частные
производные всех порядков. Эти производные могут быть получены
дифференцированием под знаком интеграла, и и (М0 ) удовлетворяет
уравнению Лапласа Аи = 0 вне области Q. Покажем, что при стремлении точки
М0 в бесконечность по любому направлению функция и (м0 ) стремится к
нулю, так что
А
Iм ( Щ )| < -, А = const
где R = -Jxq + Jo + zд .
Пусть начало координат принадлежит области Q. Тогда
\м0м\>\ом0\-\ом\
или
г > R - \ОМ\.
Обозначим через d - диаметр области Q. Тогда
r>R-d.
Будем считать, что точка М0 настолько удалена от начала координат, что R
> 2d, т.е. d < ^ > тогда г > ^ или - Теперь
1и(мо)И ЯЛр(М)| - <Т-ЯЛр(М^° = 4'
п г к п R
IV. Теория потенциала 175
где
A = 2\\^{M}dn.
а
Таким образом, потенциал объема и (М0 ) есть гармоническая функция вне
области Q.
Пусть теперь точка М0 лежит внутри области Q. Тогда интеграл (1) будет
несобственным. В силу ограниченности плотности р(м) интеграл (1) сходится
так, как
|рИ1 ,с
г г
Кроме того, можно показать, что потенциал и (М0 ) и его производные
первого порядка непрерывны во всем пространстве и эти производные могут
быть получены дифференцированием под знаком интеграла.
Для существования производных второго порядков требуется наложить на
плотность потенциала р(м) дополнительные ограничения. А именно,
справедливо утверждение:
Теорема 1. Если плотность р(м) непрерывна в замкнутой области Q и имеет
непрерывные производные второго порядка внутри Q, то потенциал объема (1)
имеет непрерывные производные второго порядка внутри Q и удовлетворяет
внутри Q уравнению Пуассона
Аи(М0 ) = -4лр (М0 ).
Итак, если /(Л/)е с(п)Л С1 (п), то уравнение Пуассона Дц(м0)+ /(М0)= О
имеет частные решение
176 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§2. Поверхности Лапунова
Для возможного строгого установления свойств потенциалов простого и
двойного слоя необходимо подчинить ряду требований те поверхности, на
которых расположены эти слои.
Будем называть замкнутую поверхность S поверхностью Ляпунова, если
выполнены следующие три условия:
1. Поверхность S имеет везде касательную плоскость.
2. Вокруг каждой точки М0 поверхности можно описать такой шар радиуса h,
не зависящего от М0, внутрь которого попадет лишь участок 2 поверхности
S, встречающий прямые, параллельные нормам п0 в точке М0, не более чем
один раз.
3. Если 9 - острый угол, образованный нормалями к S в двух ее точках Мх и
М2, и г - расстояние между этими двумя точками, то имеет место
неравенство
где а и а - постоянные числа, причем 0 < а < 1.
Условие 1 дает возможность в точке М поверхности Ляпунова построить
местную прямоугольную систему координат X Y Z, беря точку М за начало
координат, касательную плоскость в точке М за плоскость X Y и нормаль
поверхности в точке М за ось OZ. Условие 2 показывает что в этой местной
системе координат уравнение части поверхности S, заключенной внутри сферы
С с центром в точке М и радиусом h, может быть представлено в виде,
разрешенном относительно Z:
Z = f(x, у)-
Из условия 3 следует, что частные производные
являются не-
прерывными функциями хну.
IV. Теория потенциала 177
§3. Потенциал двойного слоя
Рассмотрим потенциал двойного слоя непрерывной плотности /|(м), заданной
на поверхности Ляпунова
Потенциал двойного слоя имеет везде вне S производные всех порядков и
удовлетворяет уравнению Лапласса. Покажем, что потенциал двойного слоя
стремится к нулю на бесконечности. Возьмем начало координат внутри
области Q, ограниченной поверхностью S. Тогда
\м0м\>\ом0\-\ом\
ИЛИ
г > R - \ОМ\.
Обозначим через L наибольшее расстояние точек поверхности от начала
координат. Тогда
r> R-L.
Будем считать, что точка М0 настолько удалена от начала координат,
что R > 2L, т.е. L < > тогда г > или Yr < ^' Далее обозначим через ф
->
угол, образованный векторами п и MqM , где п - внешняя нормаль к
поверхности S в точке М. Тогда формулу (2) можно представить так
га (ЛнТо^о) = ds-
S Г
Теперь
H"")|s Я|/,(")|-^ dS < -У/М JS-= 4г,
s Г R S R
где
A = A\\<\\\l{M\dS.
S
178 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Следовательно, потенциал двойного слоя стремится к нулю на бесконечности
как у , .
/R2
Далее мы приводим свойства двойного слоя, не останавливаясь на их
доказательстве.
Пусть теперь точка М0 лежит на поверхности S. Тогда г = |М0М| обращается
в нуль при совпадении точек М0 и М и интеграл (2) является несобственным.
Можно показать, что он сходится. Таким образом, потенциал двойного слоя
(2) определен во всем пространстве.
Если точка М0 лежит на поверхности S, то значение интеграла (2) в этой
