Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
точке называют прямым значением потенциала двойного слоя. Пусть теперь
точка М0 (х0, у0, z0 ) находится вне поверхности S и пусть точка М0
приближается к точке N0 е S. Если при этом приближении оказывается, что
потенциал двойного слоя со (М0 ) стремится к некоторому конечному
пределу, то мы будем говорить, что потенциал двойного слоя принимает в
точке А0 предельное значение. Предельные и прямые значения потенциала
двойного слоя, вообще говоря, не совпадают. Оказывается, что предельные
значения потенциала двойного слоя со (М0 ) различны в зависимости от
того, извне или изнутри стремится точка М0 к поверхности S, и эти
предельные значения не совпадают с прямыми значениями, а именно,
справедливо утверждение:
Теорема 2. Потенциал двойного слоя а>(М0)имеет пределы при стремлении
точки М0 к точке N0 поверхности S извне или изнутри.
Если пределы значений со(М0) извне обозначить через сое(А^о), а предел
изнутри - через <вг (N0 ), то имеют место формулы
coe(JV0)=(o(JV0)-2n/1(JV0), ю/(А0) = ю(А0)+2я/1(А0).
IV. Теория потенциала 179
Итак, потенциал двойного слоя со (М0) есть разрывная функция, которая
претерпевает разрыв непрерывности при переходе через поверхность.
§4. Потенциал простого слоя
Рассмотрим потенциал простого слоя непрерывной плотности /2(м), заданной
на поверхности Ляпунова S:
°(м0)=ц?М<ю. (3)
5 Г
(3)
Во всех точках М0 (х0, у0, z0) пространства, не принадлежащих по-
верхности S, потенциал простого слоя имеет производные любого порядка и
удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же, как в §3, можно
показать, что потенциал простого слоя стремится к нулю на бесконечности,
как
Можно доказать, что потенциал простого слоя с непрерывной плотностью есть
функция, непрерывная во всем пространстве.
Рассмотрим нормальную производную петенциала простого слоя. Выберем
произвольную точку N0 на поверхности S и обозначим через п0 направление
внешней нормали в этой точке. Производная по направлению п0 в точке М0,
не лежащей на поверхности, будет
Оказывается, что интеграл (4) сохраняет смысл также в том случае, если
точка М0 совпадет с точкой N0 на поверхности, и является непрерывной
функцией точки N0 на этой поверхности.
Обозначим через
дсгрУр)
И
дсгрУр)
дп0
дп0
180 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
соответственно предельные значения нормальной производной при приближении
точки М0 к точке N0 по нормали изнутри S и извне S. Имеет место
предложение:
Теорема 3. При непрерывной функции /2 справедливы формулы:
<Эс?(Ао)1 _ д ct(jV0 )
S ип
дпп
da{N0)
дпп
da(Na)
¦2nf2(N0),
-2nf2(N0).
(5)
Из формулы (5) непосредственно следует величина скачка нормальной функции
производной потенциала простого слоя
= 4 л /гС^о)-
da(N0) da(N0)
Зя0 i дпо
Лекция 24. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
§ 1. Постановка задач и единственность их решений
Пусть S - замкнутая достаточно гладкая поверхность. Обозначим через Qj
ограниченную этой поверхностью, а через Q2 - бесконечную область, внешнюю
по отношению к S, также ограниченную поверхность s.
Рассмотрим четыре задачи:
1. Внутренняя задача Дирихле. Найти функцию и, гармоническую вО|, при
условии
h = /i (М), MeS.
IV. Теория потенциала 181
2. Внешняя задача Дирихле. Найти функцию и, гармоническую в П2, при
условиях:
г) и = fx(м), MeS,
б) lim и = О, R =Jx2+y2+z2.
R-><K
3. Внутренняя задача Неймана. Найти функцию и, гармоническую в , при
условии
M^S.
дп
4. Внешняя задача Неймана. Найти функцию, гармоническую в Q2> ПРИ Ус~
ловиях:
а)^ = /2(л4 MsS
on
б) lim и = 0.
R-> со
Прежде чем намечать пути решения этих задач, займемся их исследованием.
Теорема 1. Решение задачи Дирихле, внутренней или внешней, единственно.
Доказательство. Рассмотрим сначала внутреннюю задачу Дирихле.
Предположим, что существуют два решения И|(м) и и2 (М) одной и той же
задачи Дирихле. Тогда их разность
и(м) = и] (М)- и2(м) будет гармонической функцией, равной нулю на S.
Отсюда из принципа максимума следует, что и{м)= 0, т.е. М[(м)= и2{М) во
всей области Q,, так как в противном случае она должна была бы достигать
внутри области Qj положительного наибольшего значения или отрицательного
наименьшего значения, что невозможно.
182 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле. Как и выше, предположим, что
существуют два решения М|(м) и и2(м). Тогда их разность и(м) = И] (м) -
и2 (м) будет гармонической функцией, равной нулю на S и и(м)-"0 при М-
>сс) т.е. для любого е>0 можно указать такое А, что <е при R> А. Пусть
М(х,у,z)-произвольная точка бесконечной области Q2. Проведем сферу SR с
центром в начале координат и радиусом R0 > А столь большим, чтобы точка М
и поверхность S' лежали внутри этой сферы. Тогда | м(м)| <е, что следует
из теоремы о максимуме и минимуме, примененной к конечной области,
заключенной между S и SR . В силу произвольности е > 0 заключаем, что
u(M)= О, а так как М - любая точка области Q2,to и = 0 в Q2, т-е- Mi =
