Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
(х), i -1,2,..., п при начальных условиях
у(о)=С0,у'(о)=С1,...,у^1\о)=Сп_1 равносильно интегральному уравнению
X
ф(х) = Я /ЛГ(х, у )ф(у) dy + /(х),
о
где
m-i (т-\)!
/(х) - F(x) - С"_, а, (х) - (С"_, х + С"_2 )а2(х)~...
f хп-1 Я
С"-1-Г"л7 + - + С1х + Со
(и -1)/
Xх)-
4. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
X
ф(х) = Я\к(х, у) ф(у) d у + /(х)
О
с ядром
а) К{х,у) = 1;
б) К(х,у)=х-у.
202 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
5. Решить следующие интегральные уравнения:
X
а) ф(х)=х + /(у-х)ф(у)<7у;
о
.т
б) ф(х) = 1 + X J(x - у)ф(у) d у;
о
.г
в) <у{х)=Х\(х-y)<y{y)d у +х2.
о
6. Показать, что если ф е сДх > 0), ф(о)=0, о < а < 1, то функция
ч sin а я*, ф'(р)
f{x)=--l\Ldy
п 0(х-у)
удовлетворяет интегральному уравнению Абеля
\ Лу)
о (х - у)
J, ^\п dx = ф(*)-
Лекция 27. Интегральные уравнения с выраженным ядром. Теоремы Фредгольма
Мы рассматриваем уравнение Фредгольма второго рода
ь
ф(х)=А, JT(x, (Дф^йК + f(x). (1)
а
§1. Уравнения с вырожденным ядром
Ядро К (х, называется вырожденным, если оно имеет вид
K{x,s)=fJaj(x)bj(s), (2)
/=1
где аДх) можно считать линейно независимым; в противном случае число
слагаемых в (2) можно уменьшить.
V. Интегральные уравнения 203
Точно так же можно считать независимыми и функции b;(s). Интегральное
уравнение (1) с вырожденным ядром представляется в следующей форме:
<р(х)= х?,ах(х) рг(л')фО)й(r) + /(х). (3)
1=1 а
Обозначим
О = Р,0)ф0)й(r). (4)
а
Величины сi суть постоянные, неизвестные, так как неизвестна функция
ф(х). Из уравнения (3) мы получаем теперь согласно (4)
ф(х)=я?с,- а,-(х)+/(х) (5)
/=1
и дело сводится к определению постоянных с;. С этой целью поставим
выражение (5) в интегральное уравнение (3). После простых преобразований
мы получим:
Е ai (х)|О - \bi fcf/fc) + X ? ск ак (?) dS Ц 0 .
1=1 I a L к= 1 J J
Так как функции а, (х) линейно независимы, то из последнего равенства
сле-
дует:
ь
с.
f{s)+xfjckak(s) к= 1
dS = 0, / = 1,2,..., п.
Обозначим еще для краткости
dS = fi ak(s) dS = aik
Тогда
ci-'k'Eaikck= f> i = l2,...,n. (6)
k=1
Для определения постоянных c; мы получим систему линейных алгебраических
уравнений. Решив ее, мы тем самым решим и уравнение (3); его реше-
204 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики ние дается
формулой (5). Наоборот, если система (6) неразрешима, то не имеет решения
и интегральное уравнение.
Определитель системы (6) равен
1 ^СХ12 СМ 1 Ха\п
1 >¦ : Р 1 Ха22 ¦ ~ ^а2п
-Хап] -Ха "2 . 1 Ха пп
Это полином от X степени не выше п; он не равен тождественно нулю, так
как при X - 0 он обращается в единицу. Отсюда следует, что существуют не
более п различных значений X, при которых D(X) = 0. При этих значениях X
система (6), а с ней и интегральное уравнение (3), либо неразрешимо, либо
имеет бесчисленное множество решений. При всех остальных значениях X
интегральное уравнение разрешимо и имеет единственное решение.
Теорема 1. Система уравнений (6) при значениях X, для которых 0(>.) -/-
(),
однозначно режима при любых /), и уравнение (3) разрешимо при
любой
функции f(x).
В частности уравнение
Ь
ф(х)= X ^(х^ср^йК (7)
а
имеет при этом только тривиальное решение.
Утверждение теоремы доказывается в курсах алгебры.
В случае D(X) = 0 система (6) разрешима не при всяких /;-, а
следовательно, уравнение (1) - не при всяких f(x).
При этом однородная система
cick =°> г = 1,2,...,и (8)
/с=1
имеет п - q линейно независимых решений, где q - ранг матрицы системы.
V. Интегральные уравнения 205
Пусть эти решения будут
c}s\c2^\...,cl}s\ 5 = 1,2,...и - q .
Уравнение (7) будет, очевидно, также иметь ровно п - q линейно
независимых решений
фД*) = х^ск}ак (4 5 = 1'2'-п ~ Ч ¦
к= 1
Известно, что в том случае, когда определитель системы равен нулю,
неоднородная система может не иметь ни одного решения. Напомним
необходимое и достаточное условие для разрешимости системы (6).
Рассмотрим систему уравнений, которая задается транспонированной матрицей
по отношению к матрице системы (8)
Р*= °> к = \,2,-п. (9)
е=1
Определитель системы (9) 0(/,) = 0. Как доказывается в курсах алгебры,
число линейно независимых решений (9) опять п - q. Пусть эти решения
будут
рДрД-.рД s = \,2,..M-q.
Для разрешимости (6) необходимо и достаточно выполнения равенств
Z/ePeW=0, 5=1,2,...,и-9 (10)
е=1
Подобно тому как система (6) соответствовала уравнению (1), а система (8)
- уравнению (7), можно установить соответствие между системой (9) и
уравнением
ъ
1|/(х)= "к (11)
а
которое будем называть однородным уравнением, сопряженным с уравнением
(7).
Решения уравнения (11) имеют вид
Vs(x) = ZP*(i)M*)> (12)
к= 1
где рД'^ - числа, удовлетворяющие (9). Отсюда получаем теорему.
206 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Теорема 2.
Однородное уравнение (7) и сопряженное с ним уравнение (11) имеют
одинаковое число решений, линейно независимых между собой. Это число
равняется r-n - q, где q - ранг матрицы системы (б), а п - число
