Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Байков В.А. -> "Уравнения математической физики" -> 55

Уравнения математической физики - Байков В.А.

Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики — Москва, 2003. — 252 c.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка): uravneniyamatematfiziki2003.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 >> Следующая

Получим уравнение
v 'd-e d%
X--
к2 l-^2
'P = 0, -1 < ?, < 1. (6)
Определение. Ограниченные на отрезке [- 1,1 ] решения уравнения (6)
называются присоединенными функциями Лежандра.
Для отыскания их произведем замену
V = (l-^2)M^).
Для функции z (Д получим уравнение
(l- tp)z" -2t,(k + l)z' + [Я,-k(k + l)]z = 0. (7)
Отметим, что такое же уравнение мы получим из уравнения Лежандра (\-
{;2)у"-2^у' + Ху = 0, если продифференцируем его к раз. Поэтому
ограниченным на отрезке
[-1, l] решением уравнения (7) при X - п (п +1) будет функция
z (0 = "^7 ^1,00-
dt,k
Здесь Рп(у) - полином Лежандра (см. лекцию 31).
Следовательно, ограниченное на [-1, l] решение уравнения (6) при X ~ п (п
+1), т.е. присоединенная функция Лежандра Рк (^), имеет вид
0 <к<п. (8)
246 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Итак, v|/ =
Р(^), и поэтому сферическими функциями вида У|/(0)ф(ф), ф (ф + 2л) = ф
(ф) будут следующие функции:
Т^(0,ф)=В^(со8 0) sin к ф, тД(0,ф) = Ви*(со8 0)со8^ф, ? =
0,1,2,... .
Эти функции называют фундаментальными сферическими функциями п -го
порядка. Ясно, что функции
у,7(е,ф)= ?с*7*(е.ф)
к--п
будут также сферическими функциями. Они называются сферическими функциями
п -го порядка. При X = п (п +1) уравнение (2) имеет решения
F\i/)~ г" и F2(r) = ^-.
Г
Следовательно,
щ (г, 0, ф) = г " Yn (в, ф), и2 (г, 0, ф) = -К- Y" (0, ф)
являются гармоническими функциями. Они называются шаровыми функциями п -
го порядка.
Таким образом, сферические функции и-го порядка, 7"(0, ф), являются
значениями шаровых функций и-го порядка на единичной сфере.
§ 2. Свойство ортогональности
Используя свойство ортогональности многочленов Лежандра и формулу (8)
нетрудно показать, что присоединенные функции Лежандра ортогональны на
промежутке [-1.1]
/Р*(*0^*00^ = О,приИ**. (9)
-I
Квадрат нормы присоединенной функции дается формулой
VI. Специальные функции 247
Сферические функции обладают свойством ортогональности на единичной сфере
а :
jjK"(°,o)' У((0,ф)<:/п = 0, если пф s,
2л Л
II
о о
д II
j |Уя(0,ф)-У^(0,cp)sin0 dQ й?ф = 0.
(П)
Для доказательства этого заметим, что свойством ортогональности обладают
фундаментальные сферические функции:
2л Л
} |Уя(0,ф)-У,/'(0,ф) 8т0Д0й,ф = О при (п,к)ф(у, р),
о о
ибо
2л Л
О о
J со$>к фсоэр фdф
при (и, к) ф (s, р). Если к ф р, то первый интеграл правой части
равенства равен нулю. Если же к = р, но и ф s , то второй интеграл в силу
(9) равен нулю.
Из ортогональности фундаментальных сферических функций следует
ортогональность (11).
И, наконец, вычислим квадрат нормы
Ь- ^ ^ г- г -12 1 г -12
Yn =1 1дЛ0'ф)1 sin 0 Ц 0 Ц ф = jcos ?ф <7ф- \ \РП (4)1 dt,.
00 0 -1
Следовательно, учитывая (10), будем иметь
1И12 2п (п + кУг "Г1-
' ' ' 12, ? = 0.
(2и +1) (и - ?)/
(12)
§ 3. Гармонические многочлены
В этом параграфе мы докажем справедливость следующего утверждения:
248 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теорема 1. Шаровые функции гиТи(0,ф) являются однородными гармониче-
скими многочленами п -й степени по переменным x,y,z.
Доказательство. Поскольку
7и(0,ф)= ЕС* У *(0.4
к=-п
нам достаточно доказать теорему для функций
г"Г"(в, ф).
Для определенности полагаем к > 0. Тогда
Yk(М= {fyosky =
= (lE а?"-2Ч0*кц = (l-^2)2 2 Ъ^-2"-к cos%
' ' pO ' ' q=0
где ?, = cos 0. Очевидно, достаточно доказать теорему для функций вида
r"sin40(cos0)" 2q ^совЯф.
Для таких функций мы имеем
г" sin^cos(c))" 2</ к cos кц> = rk sin ^BRe |V^ ^ j г2<?г"_2?^(со8 0)" 2ч к
=
= R t{x+iy)k(x2+y2+z2fzn-2"-k. Очевидно, это однородный многочлен и -й
степени.
§ 4. Задача Дирихле для шара
Пусть дана сфера радиуса R. Поместим в центр этой сферы начало
сферической системы координат (г, 0,ф) и рассмотрим две задачи Дирихле:
Аи~0 при r<R, u\r=R- /(0,ф) (внутренняя задача), (13)
Ли = 0 при г > R, и\ r=R - /(0,ф) (внешняя задача), (14)
VI. Специальные функции 249
где / = /(0,ф) - заданная функция на поверхности сферы. Предполагая
возможность разложения функции /(0,ср) в ряд по сферическим функциям
(возможность такого разложения для дважды непрерывно дифференцируемой
функции можно обосновать), допускающей почленное интегрирование, получим
/(0>ф)=1 ? (A"n,C0Sm <$+В"тЫПт<$)кт\С0*(r))' (15)
п=0 т=О
где Апт и Впт - коэффициенты Фурье, определяемые формулами
2 2л Л
В
у(т
П
у(т
= { J/(0,ф).Pj"0(cos0)cosm фьш(c) <70 </ф, оо "
= J |/(0,9)/^'n^(cos0)sinff?9sin0a,0a,9.
(16)
о о
Здесь значение нормы ||Л(tm)^| определяется из (12).
Формулу (15) перепишем в виде
°0 П
/(0,ф)= I ^(0,ф)Т"(0,ф)= Ъ{Аптсо$тц + Впт$ттц) Р);'w)(cos0). (17) и=0
т=0
Далее общее решение уравнения Лапласа для внутренней краевой задачи (13)
можно представить в виде
г(г,0,ф)=? -ч у"(0,ф)
п=0У К )
(18)
Пользуясь граничным условием при г = R и учитывая разложение для /(0.Ф)>
находим
7й(0,ф)=7й(0,ф) (19)
Таким образом, решение исходной задачи (13) дается формулами (18), (19),
(17) и (16).
Аналогично находим решение внешней задачи (14):
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed