Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
5.3. Излучение релятивистских частиц
471
Решение. Выбираем ось Oz координатной системы вдоль пучка частиц и ось Ох
в плоскости, определяемой вектором п и осью Oz (рис. 5.2). Имеем п = ех
sin в + ez cos в и
(п х р)2 = р - (п • р)2 =
= р2 - р\соб2 ф sin2 6 - pz cos2 # - 2pxPzCos 0 sin # cos 0 =
••2 1-2 -2 л -2 2 л
= P - 2^ sm У ~ Pz cos ^
где чертой обозначено усреднение по азимутальному углу ф. В полученный
результат вводим = р2 - р2 и cos2 # = (2P2(cos$) + 1)/3.
Подставляя
преобразованное таким образом выражение (п хр)2 в (5.30) и интегрируя
по прицельным параметрам и по времени, приходим к (5.83), (5.84). ¦
Пример 5.15. Вывести формулу для спектральной плотности эффективного
излучения при рассеянии пучка частиц, испущенного вдоль оси Oz.
Решение. Произведя разложение Фурье
-not duo
m = - /
- ОО
получим с помощью (1.219)
оо оо
J p2(t)dt =|г J ш4\рш\2 du.
Выполняя аналогичные преобразования интеграла f р2 (t) dt и подставляя
- оо
эти результаты в (5.83), (5.84), находим
dn
dn
оо
/
d2 пи duo dfl
где
(5.85)
472
Глава 5
- спектральная плотность эффективного излучения,
J |Ри;|22тгрф, В(ш) = ^ J(\рш\2 - 3\pzLO\2)27rpdp.
О о
(5.86)
Излучение при распадах и превращениях частиц. Распады частиц и их
превращения в другие частицы сопровождаются внезапным (точнее,
происходящим за короткое время) исчезновением заряженных частиц,
совершавших некоторое заданное движение, или появлением движущихся с
некоторыми (часто релятивистскими) скоростями новых частиц. При этом
возникает тормозное излучение, которое называют внутренним в отличие от
излучения, сопровождающего столкновение частицы с внешним объектом.
Длительность процесса превращения частиц можно оценить по порядку
величины с помощью квантовомеханического соотношения неопределенности
энергия-время:
г " А (5.87)
где AS - характерная энергия данного процесса.
Методами классической электродинамики можно рассчитать спектр внутреннего
тормозного излучения в приближении г -> 0, т. е. для относительно
низких частот
со <С 27г/г (5.88)
Это ограничение относится к неподвижному в лабораторной
системе объ-
екту, в котором происходит превращение частиц. Если объект движется с
релятивистской скоростью, нужно произвести преобразование Лоренца
интервала времени и частоты, что приведет к условию
ит"1 (2Д-д> <5-89)
1 - (v/c) cos и
где 0 - угол между направлениями скорости и наблюдения волны.
Еще одно ограничение на частоту накладывают законы сохранения энергии и
импульса при испускании фотонов (см. главу 6), которые учитываются в
квантовой тоерии. Они ограничивают частоту некоторым значением с^тах-
Генерацию квантов с энергиями Нио порядка максимальной hcomах нужно
рассчитывать методами квантовой механики.
5.3. Излучение релятивистских частиц
473
Рекомендуемая литература: [Байер и др. (1973)], [Бредов и др. (1985)],
[Джексон (1975)], [Батыгин и Топтыгин (1970)], [Соколов и Тернов (1983)],
[Пановский и Филипс (1963)], [Гинзбург (1987)], [Алферов и др. (1989)],
[Алексеев (1977)], [Тернов и Михайлин (1986)], [Болотовский и др.
(1978)], [Медведев (1977)], [Ландау и Лифшиц, Теория поля].
Задачи
5.65. Показать, что компоненты Фурье потенциалов Лиенара-Вихерта при
апериодическом движении частицы можно представить в виде
оо
л г \ е f v(T)exp(iu>T+ iu>R(r)/c
АЛг)=с J -----------------------------------------------щ-dr, (5.90)
- ОО ОО
, ч [ ехр(iujr-\-iujR(r)/с)
Vu(r) = e J V ' dr, (5.91)
- ОО
где R(t) = \r - s(t)|. Если движение частицы периодично с периодом Т = =
27t/cjo, то гармоники Фурье с частотой пооо (п - целое) выразятся в виде
т
An = ~fJ j^exp[inu;o(T + R(r)/c)\dT. (5.92)
о
Скалярный потенциал ipn(r) отличается от последнего выражения отсутствием
множителя v(t)/c.
УКАЗАНИЕ. Исходить из выражения (5.12;) и произвести интегрирование по
dV'.
5.66*. Произвести разложение по степеням R/с в общих формулах для
запаздывающих потенциалов (5.10), (5.11) и найти таким путем разложение
потенциалов Лиенара-Вихерта по степеням 1/с.
5.67. Вычислить потенциалы поля равномерно движущегося точечного заряда
из потенциалов Лиенара-Вихерта (5.52), (5.53), выразив в последних
ретардированное время tf через время t наблюдения поля. Вычислить также
напряженности поля равномерно движущегося точечного заряда.
5.68. Точечный заряд е движется с малой скоростью v и ускорением v в
ограниченной области. Найти приближенные выражения для электромагнитного
поля Е, Н частицы в точках, расстояние г до которых от частицы
474
Глава 5
велико по сравнению с размером области движения заряда. Определить
положение границы квазистационарной и волновой зон.
5.69. Определить угловое распределение dl/dVt излучения заряда,
рассмотренного в предыдущей задаче. Найти полное излучение I.
5.70. Найти связь (5.67) между скоростью потерь энергии частицей на
единицу телесного угла в данном направлении и интенсивностью излучения
геометрическим способом, рассмотрев форму области пространства, в которой
