Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
случае. Приведем теперь вывод явного и релятивистски ковариантного
выражения для силы радиационного торможения [Соколов и Тернов (1983)],
[Байер и др. (1973)], [Гальцов и др. (1991)]. Этот вопрос тесно связан с
релятивистски-инвариантным представлением собственной электромагнитной
массы частицы.
Исходим из ковариантного уравнения движения (4.53) точечной частицы,
имеющей заряд е и некоторую массу шо:
где производная берется по инвариантному собственному времени т. В правую
часть кроме внешней электромагнитной силы (первое слагаемое) добавлена
сила воздействия на частицу создаваемого ею собственного
электромагнитного поля. Запишем эту силу через 4-потенциал di
собственного поля частицы в той же форме, что и внешнюю силу:
Потенциал ^ удовлетворяет уравнениям (5.1), которые можно записать в
четырехмерной форме:
Здесь под х понимается совокупность четырех текущих координат
пространства-времени, а под х(т') = х' - четырехмерные координаты частицы
в функции ее собственного времени. Для плотности тока использовано
представление (4.110). Решение уравнения (5.99) запишем в форме (5.4)
через запаздывающую функцию Грина:
(5.97)
(5.98)
Usii{x) = --'§-ji(x) = -47ге J ^ 54(х - х(т')). (5.99)
я/г(ж) = J GR(x-y)ji(y)d4y = | J dT,dX^ ^ Gr(x-x(t')). (5.100)
5.4. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
485
С помощью последнего уравнения находим силу, действующую на частицу со
стороны ее собственного поля:
т) - х(т')) dr .
= [ dxk(r) fdxk(r) д dxt(r) д \ д
г( } с2 J dr { dr' dxi dr' дхЧ
(5.101)
Здесь х, входящий в аргумент силы имеет смысл четырехмерных ко-
ординат частицы, которые рассматриваются как функции ее собственного
времени.
Следующий важный этап вычисления силы самодействия связан с
представлением запаздывающей функции Грина в виде суммы двух слагаемых и
их интерпретации (см. задачи 5.3, 5.9):
Gr(x - х') = G+(x - х') - -|g (х - х'), где G+(x - х') = c5(s2),
(5.102)
G~(x - х') = 2с [0(жд - ж0) - @(жо - Жо)] S(s2) = -2с-^-^-<5(s2),
Fo -ж0|
s2 = (xk - х'к)(хк - х'к). (5.103)
Функция G-, согласно результатам задачи 5.9, удовлетворяет однородному
уравнению Даламбера, несингулярна, и связанное с ней поле можно
интерпретировать как поле излучения частицы. Соответствующая часть силы
самодействия будет представлять собой реакцию излучения. Функция G+
удовлетворяет уравнению с дельтаобразным источником и ответственна за
квазистационарное поле, связанное с частицей и создающее ее
электромагнитную массу. Обе эти функции зависят от разностей Xk(r) -
Xk(r') = При фиксированном т' имеем
A = ^ = 2(*t-4)-JL-, (5.104)
Поскольку гит' - разные моменты собственного времени частицы, они должны
быть близки друг другу и их разность даже для протяженной частицы имеет
порядок величины то, определяемой согласно (5.96). Для точечной частицы,
очевидно, то -" 0. Поэтому целесообразно произвести разложение всех
величин под интегралом (5.101) по малой разности т' - т = v и перейти к
интегрированию по v\
/ dx^ у2 d Хк V3 d Xk . 4\ 2 2 2 I 4\ /с
inn
Хк-Хк " ---~Q~ch^ ^ S V ^ ^5Л05^
486
Глава 5
С помощью этих разложений находим
т
д = _Х(+ vd2xk , v2 d3Xk\ d дхк с2 V dr 2 (]т2 6 dr3 J dv
(5.106)
и вычисляем силу самодействия по формуле (5.101), произведя один раз
интегрирование по частям:
#( = _/4/адЛ^й + 2?№_1^<^^а|. ,5.107)
[ 2с2 J И J dr2 3с3 V dr3 с2 dr dr dr3
Первое отрицательное слагаемое, содержащее расходящийся интеграл, можно
интерпретировать как часть силы инерции, в которую входит бесконечная
электромагнитная масса
р2 Г SM
Дто = -^Цг / -р-р dv (5.108)
2с2 J И
частицы. Вместе с массой то "голой" (т. е. не взаимодействующей с полем
излучения) частицы она образует полную наблюдаемую на опыте массу т = то
+ Ат частицы. Именно так интерпретируется аналогичная расходящаяся
величина в квантовой электродинамике, а сама процедура ее включения в
наблюдаемую массу называется "перенормировкой массы". Такая интерпретация
возможна, поскольку "голая" масса является величиной ненаблюдаемой, и ей
можно приписать бесконечную отрицательную составляющую. Но сам факт
появления расходящейся величины является, несомненно, свидетельством
несовершенства теории.
Второе слагаемое в (5.108) представляет собой силу торможения частицы,
вызванную потерей импульса на излучение:
oprad _ 2е2 (d3Xj 1 dxj dxk d3xk \ (5 109)
* Зс3 \ dr3 с2 dr dr dr3 )'
Уравнение движения частицы с учетом радиационной силы (уравнение Дирака-
Лоренца) записывается в виде
5.4. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
487
где т - наблюдаемая на опыте конечная масса частицы. Лоренцеву силу
радиационного трения можно записать в более компактной форме,
продифференцировав по собственному времени тождество ukWk = 0, где ик и
Wk - соответственно четырехмерные скорость и ускорение:
= + (5-п.)
Пример 5.16. Исследовать роль отдельных членов в правой части уравнения
(5.110). Для этого рассмотреть ситуацию, когда частица подвергается
воздействию внешнего поля Fik в течение конечного времени и вычислить
