Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
5.55*. В круглой проволочной петле радиуса а возбуждена стоячая волна
тока вида sin nafe~lUJt. Найти электромагнитное поле Н, Е
в волновой зоне.
5.56. В линейной антенне (см. задачу 5.52) течет затухающий ток
J = Josin[?;m(? + I/2)\е~cos соmt <d(t), -1/2 < ? < к/2,
где = скт = ттгс/1, 0 - ступенчатая функция, га = 1, 2, ... - число
полуволн, укладывающееся на длине антенны. Вычислить спектральную
плотность излучения d21^ / duodQ, в плоскости симметрии, перпендикулярной
оси антенны.
5.57. В плоскости xz расположено N антенн, параллельных оси Ох, каждая
длиной I. Расстояние между соседними антеннами а задано. В каждой антенне
течет ток J = Jo sin kmz cos uomt. Вычислить угловое распределение
излучения dl/dQ,, усредненного по времени.
Нагрузки на концах антенны должны быть подобраны таким образом, чтобы
отраженной волны не возникало.
460
Глава 5
5.58. Решить предыдущую задачу для случая, когда антенны расположены
очень густо и создают тонкую пластину шириной 2Ь и длиной I с
поверхностной плотностью тока го.
5.59. Отражение системы В зарядов p(r, t) и токов j(r, t) в плоскости z =
0 состоит в том, что а) каждая точка г = (ж, у, z) переходит в положение
г' = (ж, у, -z); б) плотность заряда меняет знак: p(r, t) = = -р'(г?),
где /У - плотность заряда в отраженной системе 5'. Выяснить, как при
отражении преобразуются плотность тока j(r, t), электрические р, Q и
магнитный tn моменты системы, а также электромагнитное поле Е, Н.
5.60. Доказать, что электромагнитное поле произвольной системы В
зарядов вблизи идеально проводящей плоскости может быть получено как
суперпозиция полей системы В и системы В', отраженной в этой плоскости
(см. предыдущую задачу). Рассмотреть, в частности, излучение
электрического дипольного осциллятора с моментом p(t) = Pof(t) (|р0| =
-
произвольная функция), находящегося на расстоянии b <С А от такой
плоскости и образующего с ней угол сро = const (ограничиться
электрическим дипольным приближением).
УКАЗАНИЕ. На идеально проводящей плоскости должны выполняться граничные
условия
Нп = 0 и Ет = 0.
5.61. Электрический диполь с амплитудой момента р0 и частотой си
находится на расстоянии | от идеально проводящей плоскости (а <С А,
вектор р0 параллелен плоскости). Найти электромагнитное поле Е, Н на
расстояниях г> Аи угловое распределение излучения
5.62. а) Показать, что если функция и (г, а) удовлетворяет уравнению
Гельмгольца А и + к2и = 0, то потенциал Герца для монохроматического поля
электрического типа (Нг = 0) с частотой ио = кс в свободном от источников
поля пространстве может быть представлен в форме: Z = иг +
+ grad%, % = -^ - (ги); б) найти выражения составляющих напряженно-
к дг
сти электромагнитного поля Н, Е по осям сферической системы координат
через и (г, а) (функция и называется потенциалом Дебая).
УКАЗАНИЕ. Доказывая, что AZ + к2 Z = 0, обратить внимание на то, что
существует соотношение Ах + к2х + 2и = 0.
5.63. Показать, что поле точечного электрического дипольного осциллятора
с моментом p0e~lLJt, находящегося в точке ro(ro || р0), может
5.2. Излучение релятивистских частиц
461
7?0 ^Xrvib
быть описано потенциалом Дебая (см. задачу 5.62) вида и = - • -
г о Н
где R = Г Г().
5.64. Точечный электрический дипольный осциллятор с моментом рое~гСиг
находится на расстоянии b от центра идеально проводящего шара радиуса а.
Момент направлен вдоль линии, соединяющей диполь с центром шара.
Воспользовавшись потенциалом Дебая и (см. задачу 5.62), найти
электромагнитное поле Е, Н. Найти угловое распределение излуче-
5.3. Излучение релятивистских частиц
Электромагнитное поле движущейся заряженной частицы.
Пример 5.8. Вычислить электромагнитные потенциалы частицы, движущейся
произвольным образом, на основе общих выражений для запаздывающих
потенциалов (5.10), (5.11), представив плотности заряда р и тока j через
дельта-функцию.
Решение. Пусть заряд частицы е, ее радиус-вектор s(t), скорость v(t) =
s(t) и ускорение v(t) = s(t) известны. Плотности заряда и тока выражаются
через них в виде
p(r, t) = eS(r - j(r, t) = ev(t)5(r - s(t)). (5.50)
Для вычисления потенциалов удобно использовать общую формулу (5.4) с
запаздывающей функцией Грина (5.9):
A(r, t) = | J GR(r - - tf)v(tf)5(rf - s(tf)) dVf dtf =
(5'51)
где R(tf) = r - s(t'). Интегрирование по объему произведено с помощью
5(rf - s(t')). Последующее интегрирование по времени выполняем
с использованием формулы (1.209), где в данном случае g(t')=t'-\------1,
dg(t')/dt' = 1 - n-v/c, n = R(t')/R(t'). Используя эти равенства,
получаем
A(T,t) CR(1 -n-v/c) t,
(5.52)
462
Глава 5
Таким же путем находим скалярный потенциал:
<p(r, t) =
R(1 - п • v/c)
(5.53)
Значение при котором берутся правые части (5.52) и (5.53), должно
определяться из условия g(tr) = 0, т. е. из уравнения
c(t - t') = \r - s(t')\, (5.54)
где s(tf) - координаты частицы, г - координаты точки наблюдения. Разность
t - t' = |г - s(t')\/c представляет собой время распространения
