Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
получаем из (5.60)
dl _ e2v2 sin2 в__________ ^2)
d?l 47гс3 [1 - (v/c) cos в]6
5.3. Излучение релятивистских частиц
465
Высокая степень знаменателя, весьма малого при cos# ~ 1, приводит к
сильной анизотропии излучения. В наиболее интересной области малых углов
произведем разложение sin# " #, cos# ~ 1 - в2/2. Учитывая, что v ~ с,
получим
dl 16е2г>2710(7 в)2
с1П 7гс3(1 + 72#2)6
(5.63)
Излучение сосредоточено в конусе с углом раствора порядка нескольких I/7.
Это свойство излучения ультрарелятивистских частиц объясняется
релятивистским преобразованием углов и уже было отмечено в разделе 3.1.
в) Ультрарелятивистская частица, ускорение перпендикулярно скорости, v
± v. Общая формула (5.60) дает
dl e2v2 \ 1__________(1 - v2/c2)sin26>cos2y]
d?l 47ГС3 у [1 - (v/c) cos#]4 [1 - (v/c) cos#]6 J
Здесь (p - угол между плоскостями (v, n) и (v, г?). Распределение (5.64),
как и (5.62), сконцентрировано в направлении вперед. При малых # оно
имеет вид
dl 4е2г>278
dn тгс3(1+72<92)4
47202 cos2 (f
~ (1 + 7202)2
(5.65)
Потеря энергии и импульса заряженной частицей. Величина
представляет собой поток электромагнитной энергии внутри единичного
телесного угла, который может измерить неподвижный в лабораторной системе
наблюдатель. Она отличается от скорости потерь энергии частицей за счет
излучения в единичный телесный угол d28/dt' бЮ, где dtr - интервал
"ретардированного" времени, в течение которого некоторая порция излучения
была испущена. Их различие вызвано тем, что интервалы dt и dt' различны,
хотя оба определены в лабораторной системе. Они связаны соотношением,
вытекающим из (5.54). Дифференцируя это равенство, получим
( n-v(t')\ .
dt = 1--------- )dt'. (5.66)
Приравнивая энергию, испущенную частицей за время dt', и энергию,
прошедшую мимо наблюдателя за время dt, будем иметь с помощью (5.66)
466
Глава 5
Величина dl/dfl согласно (5.60) зависит от аргумента t'. Это соотношение
устанавливает связь между потерей энергии частицей и интенсивностью
излучения, регистрируемой наблюдателем.
Проинтегрировав (5.67) по всему телесному углу, получим полную (или
суммарную по всем направлениям) потерю энергии излучающей частицей:
Величина -d@/dtr является более удобной характеристикой излучения
релятивистской частицы, чем полная интенсивность /, так как она
релятивистски инвариантна. Интенсивность не является инвариантной
величиной.
Пример 5.11. Доказать релятивистскую инвариантность величины -dS/dt'.
Выразить скорость потери импульса -dp/dt' излучающей частицей через
суммарную по всем направлениям скорость потери энергии -dS/dt'.
Решение. Сравним скорость потери энергии в мгновенно сопутствующей
системе So, в которой частица в данный момент покоится, и в лабораторной
системе S, в которой скорость частицы v. В системе So интенсивность
излучения (совпадающая со скоростью потерь энергии - dSo/dt'o) дается
формулой (5.61). Поскольку она - четная функция угла, то потери импульса
частицей в этой системе не происходит, dp0 = 0. Потеря же энергии за
время dt'o = dr равна -d8о-
Потерю энергии частицей в лабораторной системе вычислим, пользуясь
преобразованием Лоренца (3.9) для 4-вектора pk = (d8/с, dp): -d& = = -
dSо(1 - v2/c2)-1/2. Она происходит за время dtf = dr( 1 - v2/с2)-1/2.
Отсюда для скорости потерь энергии находим
(5.68)
Она не совпадает с полной интенсивностью
(5.69)
dS/dt' = -d&o/dr,
(5.70)
что и доказывает релятивистскую инвариантность этой величины.
Потерю импульса вычисляем опять с помощью преобразования Лоренца:
5.3. Излучение релятивистских частиц
467
Отнесем эту потерю к "времени частицы" dt' в лабораторной системе: dp у f
dSо
dt' с2 V д/l - v2/с2 dt'
Но д/l - v2/с2 dt' = dr - дифференциал собственного времени частицы,
поэтому с учетом (5.70) получаем простую связь между потерями энергии и
импульса в одной и той же - лабораторной - системе отсчета:
dp v [ dS
dt' с2 V dt'
Эта формула справедлива при любой скорости частицы.
(5.71)
Пример 5.12. Выразить скорости потерь энергии и импульса релятивистской
частицей в единицу собственного времени в ковариантной форме через
четырехмерные скорость и ускорение, а также через соответствующие
трехмерные величины.
Решение. Используем определение 4-ускорения (3.23) и выражаем
инвариантную величину dS /dt' через релятивистский инвариант - квадрат 4-
ускорения:
-§=<5-72'
При v -> 0 (5.72) переходит в формулу Лармора (5.32). Объединяя (5.71) с
(5.72) и вводя интервал собственного времени dr = д/l - v2/с2dt' и 4-
скорость (3.23), записываем обе указанные формулы в виде равенства 4-
векторов:
= ~^wkwku\ (5.73)
ат 3 с5
где рг = /с, р) - четырехмерный вектор энергии-импульса
релятивист-
ской частицы.
4-ускорение можно выразить через трехмерные величины:
= dT = 7 ~'Н +
Записав квадрат 4-ускорения,
wkwk = -76
9 (vx i)Y гг -
с2
468
Глава 5
находим релятивистское обобщение формулы Лармора (5.72) через трехмерные
величины:
<Ш
' dt'
2е276
'"з?
О (v X v) V - --------------
