Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
от расстояния г. Дифференциальная интенсивность излучения примет вид
Ж. = jlhV = !ё2ц? = ?.(5.30)
dQ, 47Г 4тте3 47гс3
5.2. Излучение нерелятивистских систем зарядов и токов
449
где в - угол между направлениями р и п в момент t -r/с. При
интегрировании по всему телесному углу получим полную интенсивность
излучения
'=!?• <5М)
Для отдельной заряженной частицы р = ег, и (5.31) дает формулу Лармора
?р2?>2
I = (5.32)
3 с'3
Из нее следует, что излучать может только ускоренно движущаяся частица, v
^ 0. ¦
Рассмотренное излучение называется электрическим дипольным излучением,
поскольку все величины выражаются через производные от электрического
дипольного момента. При периодическом движении интенсивности излучения
отдельных гармоник Фурье можно вычислить с помощью формул (5.21) и
(5.28). Они имеют вид
A[jj4
Im = -f\Pm\2. (5.33)
Зс'3
Если диполь колеблется с одной частотой со, т. е. p(t) = р0 cos cot = =
(р0/2)(е~гСиг + elLUt), то рг = р0/2 и интенсивность излучения,
усредненная по периоду колебаний, I = 1\ = ш4р1/Зс3.
Квадрупольное и магнитно-дипольное излучение. При равенстве нулю или
постоянстве дипольного момента электрическое дипольное излучение
отсутствует, и для расчета поля излучения нужно учесть следующие члены
разложения (5.26). Такая ситуация возникает, например, в случае системы
заряженных частиц с одинаковым отношением еа/та = 77:
P = =rl'^2mara =
тп
Здесь R - радиус-вектор центра масс; в отсутствие внешних сил R = V = =
const, R = 0, дипольное излучение обращается в нуль.
Пример 5.6. Вычислить векторный потенциал ограниченной системы зарядов в
отсутствие электрического дипольного момента с учетом членов следующего
порядка малости по параметру l/Х в (5.26). Результат выразить через
магнитный дипольный и электрический квадрупольный моменты. Вычислить
дифференциальную и полную интенсивности магныт-но-дипольного и
электрического квадрупольного излучения.
450
Глава 5
Решение. Преобразуем второй член в правой части (5.26) с помощью
тождества
(п • r')j = (1/2)[(п • r')j + (n-j)r'] + (1/2)(V х j) х п. Подстановка
этого выражения в (5.10) дает векторный потенциал вида
А = тхп + 1_ JL f [(n . r')j + (n . j)r'] (5.34)
cr 2czr eft J
Здесь га - производная от магнитного момента (2.59) системы по времени.
Второй интеграл в (5.34) преобразуем с помощью тождества f PdV = = - f г
div Р dV и уравнения непрерывности, где Р - произвольный вектор, отличный
от нуля в конечной области, а интегрирование производится по всему
пространству. В результате получим
А = гпхп + 1 g Ь(п. г')р dV'. (5.35)
cr 2czr dtz J
Интеграл в последнем равенстве можно записать через электрический квад-
рупольный момент (2.24). Введя тензорные обозначения, будем иметь
J Ха(п • r')pdV' = (l/3)QaJgnJg + (l/3)na J pr'2dV'.
В итоге находим векторный потенциал в волновой зоне:
тхп. Q . п
А =
J p(r', t - r/c)r'2 dV', где Qa = Qapnp.
cr 6c r 6c r
(5.36)
При вычислении напряженностей поля последнее слагаемое в (5.36) не дает
вклада, поле излучения выражается только через магнитный диполь-ный и
электрический квадрупольный моменты:
H = fr E=~h
|(m х п) х п+ х n|, jn x m + x n) x n| .
(5.37)
Поле магнитного диполя получается из поля электрического диполя заменойр
-> m, Е Н, Н -> -Е. При гармоническом движении зарядов р = -со2р, т = -
со2т, Q = ico3Q, поэтому интенсивности электрического и магнитного
дипольных излучений пропорциональны со4, тогда как электрическое
квадрупольное излучение пропорционально со6.
5.2. Излучение нерелятивистских систем зарядов и токов
451
Имея напряженности поля, нетрудно вычислить дифференциальную
интенсивность квадрупольного и магнитно-дипольного излучения в данном
направлении п:х
i = ^х 11)2 +1liЬ(tm) ¦{il х n)- <5J8)
При интегрировании (5.38) по направлениям вектора п следует записать все
произведения векторов в тензорных обозначениях и воспользоваться
формулами для усреднения компонент единичного вектора, полученными при
решении задачи 1.33. Суммарная по всем направлениям интенсивность
излучения запишется в виде
I = -hrn2 + -Ц<&?- (5.39)
Зс3 180с5
По сравнению с интенсивностью электрического дипольного излучения (5.31)
слагаемые в (5.39) содержат малый множитель (l/Х)2. Поэтому они будут
играть существенную роль только в отсутствие электрического дипольного
излучения. ¦
Вектор Герца и излучение антенн. Если излучателем является
макроскопическое тело с размерами I ^ А, то разложение поля излучения по
мультиполям неприменимо, и следует пользоваться точными выражениями
(5.10), (5.11) для запаздывающих потенциалов. Количество неизвестных
функций можно уменьшить, если вместо потенциалов А (г, t), ip (г, t),
связанных условием Лоренца (5.2), ввести одну векторную функцию Z(r, t)
(вектор Герца, или поляризационный потенциал) через которую выражаются
электромагнитные потенциалы. Вектор Герца может быть двух типов:
электрическим Z^ и магнитным Z^m\ Первый случай реализуется, когда
источник состоит из электрических дипольных излучателей, распределенных с
