Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
объемной плотностью Р, которая называется вектором электрической
поляризации. Электромагнитные потенциалы связаны с электрическим вектором
Герца соотношениями
ip = -divZie\ А = • (5-4°)
с at
Распределение зарядов и токов электронейтральной системы выражается через
вектор электрической поляризации по формулам
P=-divP, 3 = ^.
(5.41)
452
Глава 5
Уравнение непрерывности при этом выполняется, а полный заряд ограниченной
системы должен быть равен нулю:
Полный электрический дипольный момент выражается в виде интеграла от
вектора Р по объему системы.
Для того, чтобы электромагнитные потенциалы удовлетворяли уравнениям
(5.1) и соотношениям (5.40), вектор Герца следует подчинить неоднородному
уравнению Даламбера:
Применяя к обеим частям (5.42) попеременно операторы - div и d/cdt,
получим уравнения для потенциалов (5.1). Решение уравнения (5.42) можно
записать по аналогии с запаздывающими потенциалами:
Магнитный вектор Герца следует вводить, когда источник содержит магнитные
дипольные излучатели, распределенные с плотностью M(r, t), которая
называется вектором магнитной поляризации. В этом случае вместо (5.41)
имеем
интеграл по объему системы от М даст полный магнитный дипольный момент, а
магнитный вектор Герца должен определяться из неоднородного волнового
уравнения
Пример 5.7. Принцип взаимности. Два независимых источника излучения
характеризуются распределениями токов j±, j2 и создают монохроматические
поля одинаковой частоты со. Показать, что токи и напряженности полей
связаны соотношением
P-dS = 0.
= -4тг Р.
(5.42)
Z<e>(r, t) = J
P(r',t-\r -r'\/c) \r-r'\
(5.43)
P - 0, j = с rot M.
(5.44)
(5.45)
Электромагнитные потенциалы выражаются формулами
(р = 0, A = rotZ(m).
(5.46)
(5.47)
где интегрирование производится по всему пространству.
5.2. Излучение нерелятивистских систем зарядов и токов
453
Решение. В силу принципа суперпозиции поле каждого из источников
удовлетворяет своей системе уравнений Максвелла:
1 тт 4тг • ЪСО тр 1 тт 4тг • ЪСО тр
rot ill = -J 1----1, rot Н2 = - J2 C~ 2?
rot??i = ^Hi, rot?2 = ^if2.
Проведя простые преобразования, подобных тем, которые производились при
решении примера 2.15, и использовав теорему Остроградского-Гаусса,
получим
Jj1-E2dV = J j2-E,dV+^ ?
На бесконечно удаленной поверхности выражение, стоящее под знаком
интеграла, обращается в нуль в силу соотношений (5.18), так как векторы
П1, п2 от источников, находящихся на конечном расстоянии друг от друга,
совпадают. Это приводит к (5.47). ¦
Путем несложных вычислений нетрудно показать, что для электрического
диполя, колеблющегося с частотой со fj dV = icop, поэтому для двух
электрических диполей малых размеров соотношение (5.47) принимает вид
рг- Е2=р2- Ei- (5.48)
Если дипольные излучатели представляют собой квазилинейные проводники,
длины которых малы по сравнению с длиной волны излучения, то путем замены
j dV -> J dl получим из (5.47)
JiU2(l) = J2EM2), (5.49)
где Ui (к) = f Ек • dli - разности потенциалов, создаваемые источниками i
на концах проводников к, Ji - силы токов в излучателях. Равенство (5.49)
не зависит от того, в каком режиме - активном (как передатчик) или
пассивном (как приемник) работает данный диполь. Меняются только силы
токов, угловые диаграммы направленности в обоих режимах одни и те же.
Это свойство, как оказывается, сохраняется и для произвольных антенных
систем. Диаграммы направленности любой антенны при работе на прием и
передачу совпадают.
Рекомендуемая литература: [Медведев (1977)], [Бредов и др. (1985)],
[Пановский и Филипс (1963)], [Ландау и Лифшиц, Теория поля], [Батыгин и
Топтыгин (1970)], [Алексеев (1977)], [Джексон (1975)], [Стрэттон (1948)].
454
Глава 5
Задачи
5.16*. Вычислить электромагнитные потенциалы и напряженности поля на
расстояниях, удовлетворяющих условию I г А. Учесть электрические
дипольный, квадрупольный и магнитный дипольный члены.
5.17*. Для электрического дипольного излучателя вычислить в волновой зоне
электрическое поле по формуле Е = - (1 /c)dA/dt и показать, что его можно
записать в виде Е = Н х п, где Н дается формулой (5.28).
5.18. Вычислить напряженности поля точечного электрического дипольного
осциллятора с моментом р = р0 cos cot на расстояниях, удовлетворяющих
условию I <С г при любом соотношении между г и А.
5.19. Найти уравнения силовых линий электрического и магнитного полей
электрического осциллятора предыдущей задачи. Проследить за качественным
изменением картины поля в зоне, прилегающей к осциллятору, и в волновой
зоне.
5.20. Найти выражение для потери момента импульса в единицу времени -
dL/dt системой, излучающей как электрический диполь.
УКАЗАНИЕ. Можно использовать результаты задачи (4.143) (формулы (6),
(7)).
5.21*. Найти электромагнитное поле Н, Е заряда е, движущегося равномерно
по окружности радиуса а. Движение нерелятивистское, угловая скорость со.
Расстояние до точки наблюдения г а. Найти средние по времени угловое
распределение dl/dCl и полную интенсивность I излучения, а также
