Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
электромагнитного возмущения от частицы до точки наблюдения поля. ¦
Пример 5.9. Вычислить напряженности электромагнитного поля Е, Н, которые
создает произвольным образом движущаяся заряженная частица.
Решение. Вычисляем Н = V х А, пользуясь представлением (5.51). Оператор V
действует на координаты г, которые входят только в R=\r-s\ под интегралом
по dt'. Выполним дифференцирование под интегралом, пользуясь формулой
Получим
H(r, t) = I j(г X n) | + R/c-t) - ^'(t' + R/с-
Далее переходим к интегрированию по dg = (^) = - п' cf) ^
и, пользуясь правилами интегрирования выражений с дельта-функциями
(1.209), (1.210), находим
H(v t) = vxn + в d vxn ( ,
cR2(l-n-v/c) с(1 - п • v/c) dtf cR(l - n • v/c) '
где правая часть берется при значении t', определяемом уравнением (5.54).
При вычислении производной по t' имеем
dv(tf) dR(tf) dn(tf) v n(n • v) n x (n x v)
- =Mt)• - = -nV' - = -R + -g- =------------------------R------'
5.3. Излучение релятивистских частиц
463
Выполнив дифференцирование в (5.55) с помощью этих формул, после
приведения подобных членов получим окончательное выражение для магнитного
поля:
е(1 - v2/c2)(v х п) e{cv х п + п х [(v х v) х п]} cR2(1 - п • v/c)3 c2R(1
- п • v/c)3 ^ ^
Вычисление электрического поля Е = -Vcp - dA/cdt производится аналогичным
образом: представляем скалярный потенциал в виде
<f(r, *) = j + д(0/с - f)dt'
(5.57)
и дифференцируем величины (5.51), (5.57) под знаком интеграла. Это
позволяет получить электрическое поле
Е = е(1 - у2/с2)(п - v/c) еп х [(п - v/с) х г>]
R2(l - п • v/c)3 c2R(1 - п • v/c)3
В формулах для напряженностей поля (5.56), (5.58) все величины,
входя-
щие в правые части, берутся в момент tf, который определяется из
уравнения (5.54). ¦
Сравнение напряженностей (5.56) и (5.58) показывает, что они связаны
соотношением
H(r, t) = n(tf) х E(r, t), (5.59)
т. e. вектор H перпендикулярен Е и линии, которая соединяет заряд
в мо-
мент t' с точкой наблюдения (но вектор Е имеет проекцию на эту линию).
Каждая из напряженностей состоит из двух слагаемых: первое изменяется в
пространстве как R~2 и не содержит ускорения заряда, а второе
пропорционально ускорению v и убывает как R-1. Слагаемые первого типа
образуют квазистационарное поле, так как оно присуще и равномерно
движущемуся заряду, а закон убывания с расстоянием - такой же, как у
статического поля. Слагаемые второго типа описывают волновое поле
излучения, поскольку оно медленно спадает с расстоянием и создает
конечный поток электромагнитной энергии через замкнутую поверхность
большого радиуса, окружающую частицу. Поле излучения возникает только при
ускоренном движении заряженной частицы (г? ^ 0).
Пример 5.10. Выразить через скорость и ускорение поток энергии dl/dQ
излучения в единичный телесный угол от частицы, движущейся произвольным
образом. Произвести анализ углового распределения, рассмотрев подробно
три случая: а) излучение нерелятивистской (у <С с)
464
Глава 5
частицы; б) излучение улътрарелятивистской (7 = ё/тс2 1) частицы при v ||
v; в) то же при i) _L v. В последних двух случаях представить
интенсивность излучения в направлении, составляющем малый угол в со
скоростью частицы, в упрощенной форме, произведя разложение по в.
Истолковать полученные результаты на основе закона преобразования функции
распределения {см. задачу 3.34).
Решение. Поток энергии в единичный телесный угол вычисляется через
напряженности поля в волновой зоне по формуле (5.19). Используя вместо Н2
равную ей величину Е2, получим с помощью (5.58)
dl = е2[пх [(та - v/c) х у}]2
dn 47гс3(1 - п ¦ v/c)6 ' '
где все величины в правой части берутся в момент времени t - R/с.
Поток энергии в единицу телесного угла (5.60) зависит от R только через
временной аргумент. Это означает, что поток энергии через площадки R2 сЮ,
внутри выбранного телесного угла бЮ, находящиеся на разных расстояниях от
частицы, в соответствующие моменты времени (с учетом конечной скорости
переноса энергии) будет одинаковым - электромагнитные возмущения
распространяются от генерировавшей их заряженной частицы на
бесконечность. Они образуют поле излучения, которое, возникнув,
отрывается от своего источника.
Квазистационарное поле (т. е. слагаемые в (5.56), (5.58), не содержащие v
и пропорциональные R~2) таким свойством не обладает. С ростом R поток
энергии квазистационарного поля внутри данного телесного угла убывает как
R~2. Следовательно, квазистационарное поле остается все время связанным с
частицей и не создает потока на бесконечности.
а) Нерелятивистская частица, <С с. Пренебрегая членами порядка v/c,
получим из (5.60)
""и
где в - угол между ускорением в момент tr и направлением наблюдения.
Излучение распределено симметрично относительно направления v и
максимально в направлении, перпендикулярном v. Интегрирование (5.61) по
телесному углу дает формулу Лармора (5.32).
б) Ультрарелятивистская частица, 7 = (1 - г>2/с2)-1/2 1, ускорение
направлено вдоль скорости: i) || v. Обозначив через в угол между п и v,
