Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
наложено условие div А = 0 (кулоновская калибровка). Представить
уравнения в такой форме, чтобы в каждое из них входил один из потенциалов
и источников поля.
5.11. Записать уравнения, которым удовлетворяют безвихревая
(потенциальная) и соленоидальная части векторов электромагнитного поля
E(r, t), H(r, t). Показать, что потенциальная часть электрического поля
описывает мгновенное (незапаздывающее) кулоновское поле, которое
оо
G%A(R) = ±^j с1техр[±±(Нш ±гиО)т]й(Я).
/
о
Показать также, что подынтегральное выражение
ipR,A(R, т) = ехр ± icu0)r S(R)
удовлетворяет "уравнению Шредингера"
(Ни; ± iu>0)ipR'A
G+(R, t) = \(Gr(R, t)+Ga(R, r)), G~(R, t) = Ga(R, t)-Gr(R, t).
446
Глава 5
создается распределением зарядов в тот же момент времени, для которого
определяется E^(r, t).
5.12*. Разложить запаздывающую функцию Грина (5.14) в ряд по сферическим
гармоникам Угш($, а), где углы а определяют направление вектора г.
5.13. Представить фурье-образы запаздывающих потенциалов (г), Фш(г) в
волновой зоне (кг 1) в виде разложения по сферическим гармоникам Лежандра
Yim(i9, а). Как связаны коэффициенты разложения потенциалов, если сами
потенциалы удовлетворяют условию Лоренца (5.2)?
УКАЗАНИЕ. Использовать разложение функции Грина G^j(r - г') из предыдущей
задачи.
5.14*. Построим три последовательности векторных шаровых функций (шаровых
векторов) а), определив их через сферические
функции Лежандра соотношениями
LV, ") = W + l)]"1/2V^m(^ а),
\22('д,а) = [1(1 + 1)]-1/Ч?1Ма), 1 = 1,2,..., ^ = О,
9^(0. ") = nYlm(0, а),
где п = г/г,1 = - гг х V = -mxV^Q, = е$д/д$ + (еа/sin$)(9/9a).
I - эрмитов оператор момента импульса в квантовой механике. Доказать,
что шаровые векторы с разными к взаимно перпендикулярны и образуют полную
ортонормированную систему функций на сфере:
a) • 9rW(tf, a) dQ = 5w5mm,5kk,.
Показать также, что при инверсии координат (замена п -> -п) и 3^
приобретают множитель (-l)z+1, а - множитель (-I)1.
5.15. Показать, что в волновой зоне (г А) при выполнении условия Лоренца
(5.3) скалярный потенциал ограниченной излучающей системы связан с ее
векторным потенциалом соотношением
. . г ¦ A(r, t) q
<p(r, t) =----f------h f,
где q = const - полный электрический заряд системы.
5.2. Излучение нерелятивистских систем зарядов и токов
447
5.2. Излучение нерелятивистских систем зарядов и токов
Исследование излучения упрощается, если время распространения
электромагнитных возмущений в пределах излучающей системы мало по
сравнению с характерным временем Т движения заряженных частиц в системе:
!/с<Г. (5.23)
При периодическом движении Т - это период, поэтому неравенству (5.23)
можно придать форму
I < А, (5.24)
где А - длина волны излучения. Наконец, l/Т ^ v - характерная скорость
частиц, и условие (5.23) сводится к требованию, чтобы скорость частиц
была нерелятивистской:
v < с. (5.25)
Проанализируем поле излучения системы зарядов, удовлетворяющих условиям
(5.23)-(5.25). Для этого достаточно вычислить векторный потенциал в
волновой зоне (г А) и учесть лишь члены, обратно пропорциональные
расстоянию г до системы, так как только они дадут вклад в излучаемую
системой энергию.
Исходим из запаздывающего потенциала (5.10) и разлагаем |г -
г'\
в ряд по отношению размеров системы к расстоянию г: \г - г'\ ~ г -
п г',
где п = г /г. Представим плотность тока, стоящего под знаком интеграла, в
виде разложения
j(r', ( - I + = j(r\ , - I) +j(r', ( - Г)
+ ..., (5.26)
где точкой обозначена производная по времени. В знаменателе же
подынтегрального выражения оставляем член нулевого приближения, заменяя
\г - г'\ на г.
Электрическое дииольиое излучение. Взяв из разложения (5.26) первый
неисчезающий член, будем иметь
A(r, t) = h J
Далее пользуемся тождеством
aj=j¦ V'(a • г') = V' • \j(a • г')] - а ¦ r'(V' • j),
448
Глава 5
где а - постоянный вектор, и получаем
a-jKr'',-^)dv' = a'mj r'p(r'' *-?)<**"•
Здесь мы использовали уравнение непрерывности (2.47). Пользуясь
определением электрического дипольного момента (2.23), можем записать f
r'p(rf, t - r/c) dVr = p(t - г/с) и
Air, ,) = (5.27)
Пример 5.5. Вычислить напряженности поля E(r, t), H(r, t) в волновой зоне
электрического дипольного излучателя. Вычислить также энергию, излучаемую
в единицу времени в направлении п (в расчете на единицу телесного угла) и
суммарную по всем направлениям излучаемую энергию.
Решение. Удерживаем только члены порядка г-1, которые получаются при
дифференцировании аргумента р, но не знаменателя:
H = iotA= ^4^, "=F- <5-28)
czr
Электрический вектор Е можно выразить через магнитный вектор Н с помощью
формул (5.19) для плоской волны:
(р X п) X п
Е = Нхп = ^---------------. (5.29)
Характерно, что в волновой зоне вектор Пойнтинга направлен по радиусу от
источника и обратно пропорционален квадрату расстояния:
7 = -?-Е х Н = -?-Н2п.
1 47Г 47Г
Поэтому через элемент поверхности сферы г2 dd внутри данного телесного
угла dQ пройдет одна и та же энергия (с учетом запаздывания) независимо
