Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
изменение Аее 4-импульса за время действия поля. Установить связь между
силой радиационного трения и потерей частицей энергии и импульса на
излучение.
Решение. Пусть при г ^ т\ и г ^ Т2 частица движется без ускорения.
Интегрируя уравнение (5.110) по интервалу [ti,T2], будем иметь A pi = =
(APi)ext + (Api)rad, где первое слагаемое
2
(APirl = J %Fikdxk
1
представляет собой изменение 4-импульса за счет внешнего поля. Второе
слагаемое запишем, использовав формулу (5.111) для радиационной силы:
2 2 2 (.APl)rad = J ' 2е" f
, , WkW щ dr.
3 сь
i
Первое слагаемое в правой части равно нулю ввиду обращения в нуль
ускорения. Оставшийся интеграл совпадает с результатом интегрирования
величины (5.73) и представляет собой, таким образом, изменение 4-импульса
частицы вследствие излучения. ¦
Пример 5.17. Записать силу радиационного трения в нерелятивистском
случае. Какие трудности возникают в исследовании движения частицы при
включении в уравнение движения радиационной силы?
Решение. В нерелятивистском приближении d/dr = d/dt, 7 = 1. Использовав
формулу (5.111), находим в соответствии с общим соотношением (4.60),
связывающим четырехмерную и трехмерную силы, ^ =
= (F • v/c, F), где
Ор2
F = f^v (5.112)
Зс'3
- нерелятивистская трехмерная сила радиационного трения.
488
Глава 5
Запишем уравнение движения частицы в отсутствие внешних полей, но с
учетом радиационной силы:
ту = Щу. (5.113)
Зс3
Важной особенностью этого уравнения, как и значительно более сложного
уравнения (5.110), является более высокий (третий) порядок производных от
координат по времени по сравнению с обычными уравнениями движения
релятивистской (и нерелятивистской) классической механики. Интегрируя
уравнение (5.113), получаем его общее решение
v(t) = а + 6е^То,
где а, b - постоянные интегрирования, то определена согласно (5.96).
Обратим внимание на то, что показатель экспоненты положителен, и второе
слагаемое представляет "самоускоряющееся" решение: скорость нарастает в
отсутствие ускоряющей силы. Но нельзя забывать о том, что уравнение
(5.113), имея второй порядок относительно скорости, требует задания двух
начальных условий, т. е. скорости и ускорения. В отсутствие внешних сил
ускорение равно нулю, поэтому v(0) = ^(0) = 0. Определяя из этих
условий постоянные интегрирования, находим b = 0 и получаем правильное
для этого простейшего случая решение v(t) = Vq = const. ¦
Пример 5.18. Выразить силу радиационного трения через скорость частицы и
внешнее электромагнитное поле. Для этого использовать уравнение движения
частицы в пренебрежении излучением, считая радиационную силу малой.
Рассмотреть подробно случаи нерелятивистского и уль-трарелятивистского
движения.
Решение. Из уравнения движения (4.53) находим
щ = ^1 = = Л' + -<t-2F,tFuu,
dr тс dr тс дх (тс)
и, используя эти результаты, получаем из (5.111) радиационную силу,
выраженную через внешнее поле:
^ + ^4l(Fk^S)(FklUl)ut. (5.114)
Ътсг дхбтАс°
5.4. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
489
В нерелятивистском пределе подставляем в (5.114) ик = (с, v) и с помощью
таблиц (4.68) получаем трехмерную радиационную силу
2е3г Ё + ^-jExH при E^vH/c;
тр - ) 3гас3 3га2с4 ^ цп
Л ~03 . ос4 (5.115)
Здесь
х i? + -ЩггН х(пН) при Е <С vH/c.
Згас4 Зттгс5
Ё=Ш+{v ¦v)?
и аналогично записывается Й". Малость радиационной силы по сравнению с
силой Лоренца в обоих случаях приводит к ограничению внешнего поля
I е I
Я<^. (5.116)
Но это ограничение практически неважно, так как квантовые поправки
становятся существенными при меньших значениях поля.
В ультрарелятивистском случае ик = 7(с, v), 7 1, поэтому в (5.114)
нужно учесть только слагаемое, содержащее произведение трех 4-скоростей.
Из (5.114) с помощью (4.68) находим трехмерную силу
F = -^~a{{E-v)2 ~{cE + vxH)2}v, (5.117)
оТП С
направленную противоположно скорости частицы. Здесь всюду, кроме 7,
следует считать |v| = с. Выбрав ось Oz вдоль v, получим более простое
выражение для радиационной силы:
F* = - Hvf + (Еу + нх)2}. (5.118)
Згагсг
Как следует из (5.117), (5.118), эта сила пропорциональна квадрату
энергии частицы и квадрату внешнего поля. ¦
Рассеяние электромагнитных волн частицами. Кроме взаимодействия с полем
собственного излучения, заряженные частицы могут взаимодействовать с
электромагнитными волнами, созданными внешними источниками. Это приводит
к ускоренному движению частиц, и возникает вторичное (рассеянное)
излучение. Процесс рассеяния характеризуется дифференциальным
dl(6,a) [
a<js = -=- и полным (7S = I acFs (5.119)
7о J
490
Глава 5
сечениями рассеяния. Здесь dl(6, а) = 7г2 dfl - средняя (по времени)
интенсивность излучения в телесный угол dfl; 7, 70 - средние плотности
потока энергии в рассеянной и падающей волнах, определяемые через вектор
Пойнтинга.
Плодотворным подходом к исследованию процессов взаимодействия частиц с
электромагнитными волнами является метод осцилляторов поля, тесно
связанный с разложением Фурье, суть которого для свободного поля была
