Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
COS0 = (кк7&2)'. (12.18)
Значения интегралов, соответствующие переходам (к, —1/2) ->-(к', —,1/2) и (к, —1/2)-^(к'? 1/2), равняются комплексному сопряжению выражений, данных в (12.16) и (12.17). Таким образом, вероятность перехода к к' из состояния Jz = 1/2 или Jz =—1/2 в
128 ' - ' ' борновском приближении с учетом блоховских множителей равна W' (к, к')= (I <к\ 1/2 I Ж' I к, 1/2) I2 +
+ I <к', — 1/2 I Ж' I к, 1/2) I2) б (ек/ — ек). (12.19) Учитывая (12.16) и (12.17), легко получим
W' (к, к')=Щк, к')-/(к, к'), (12.20)
где W(k, к') — вероятность перехода без учета блоховских множителей, явный вид которой для различных механизмов дан в формулах (10.28), (10.47), (11.41), (11.53), (11.75) и (11.99); множитель /(к, к'), появляющийся из-за учета блоховских множителей с использованием (12.18), имеет вид
1(к, к') = P + (O2 + О ^ + O2 (4 - с Vzf (1 - Щ- (12.21)
Второй член в-(12.19) и (12.21) соответствует переходу с переворачиванием спина электрона проводимости (к, 1/2) -»-->-(к', —1/2). Видно, что вероятность такого перехода отлична от нуля только при наличии спин-орбитального расщепления. Действительно, когда A0 = O, то, как видно из„ (12.12) и (12.11), ? = 0 и o = 0, следовательно, второй член в (12.21) исчезает. Если зона параболична (ев»е), то /(к, к')=1, так как при этом L = Ona = I, Ь = с = 0.
Цодставляя (12.20) в (9.23) и используя явный вид PF(k, к'), из предыдущих параграфов и (12.21) можно легко вычислить время релаксации для различных механизмов релаксации т'(A) с учетом блоховских множителей. Опуская промежуточные выкладки, здесь приведем окончательные выражения для т'(А).
Рассеяние на короткодействующем потенциале. Из (10 47), (12.20), (12.21) и (9.23) получим
т'(А) = т(А) [HFg(E)), (12.22)
где т(А)—время релаксации без учета блоховских множителей (10.48), а функция Fg(е) есть
Fg (г) = а* - -J- а2 (Ь2 + с2) + -L (Ъ2 + с2)2 + -J- ъ* (-Lb -cV~2Y.
(12.23)
Учитывая (12.11), Fg(e) можно переписать в виде
Fg(s)— 1 — (8/3) Zf + 2Z2 + (1/6) /Z2, (12.24)
где
/ = (4/9) ?2(2f — l/2?)2 (12.25)-
характеризует переворачивание спина при рассеянии. При A0 = 0 величина f = 0, а при A000 -/=1.-
Рассеяние на ионизованнілх атомах примеси. Подставляя (12.20) в (9.23) и учитывая f 10.28), для времени релаксации
9 Б. М. Аскеров І 129 имеем
= --A—Іr'V (12.26)
W 2 Xe1NiFnv(Ic) \dkj. ¦
Это выражение от (10.29) отличается тем, что здесь вместо (10.30) входит следующая функция [35]:
F'np (к) = Fnp (А) + 4 - с V 2 J2 - (Ь* + с2)] А -
+ с2)2] Я, (12.27)
где Fnp(A) и I даются формулой (10.30), а
A = I + 1/(1 + !)-(2/1)1п(1 + 6), (12.28)
5 = 1-4/6-2/1(1 + 1) + (6/6^111(1 + 1). С учетом (12.11) функция (12.27) принимает вид
F4, (A) = Fnp (А) - (4Z -/F2M + l/2F2(4-/)tf. (12.29)
Поскольку 0 S=/S= 1, ( O s=LsS 1/2 и В< 1 (при 1»1), то Fnp (А) < Fnp (А). Таким образом, учет непараболичности в- вероятности рассеяния увеличивает время релаксации, следовательно, и подвижность носителей заряда.
Рассеяние на полярных оптических фононах. Используя (12.20) и (11.50), легко можно вычислить время релаксации на неполярных оптических фононах с учетом блоховских множителей*). Однако мы здесь приведем только результат для рассеяния на полярных оптических фононах, так как этот механизм в InSb является более важным.
Используя (12.20), (11.75) и (11.108) в "формуле (9.23), для времени релаксации в случае рассеяния на полярных оптических фононах с учетом экранировки и блоховских множителей получим
Тпол ('") = ^пол (k)/F'noa(k), (12.30)
где Тпол(А)—время релаксации на полярных оптических фононах при высоких Температурах и без учета экранировки и блог ховских множителей (11.77); функция Fn03 (А) имеет вид
Fnosi (A) = F11031 (А) + 2 ^2 - с /Ij2 - (б2 + с2)2] В +
+ -І j> + су_ с /Sj2JС, (12.31)
где функция Fnon(A) определяет роль только экранировки потенциала полярных оптических фононов (11.110), А и В даются
*) Рассеяние на нецолярных оптических, фононах рассмотрено в работе [39], результат которой приведен в [36]. - '
130 ' - ' ' формулой (12.28), а
Из (12.11) .и (12.31) легко получим
Fnojl (к) = Fuoil (к) -4- (4L - /L2) В + -І- (4 - /) L2C. (12.33)
В случае параболической зоны (es->-°°) L = O и ^пол(А) = = Fпол (к)- Если не учитывать экранировку (1-*°0), то Faoll = 1, B = C = 1 и только учет блоховских множителей дает
Кол (к) = 1-1/2 (4L- /L2) + 1/3 (4-/) L2. (12.34) В двухзонном приближении^ (A0 > Eg) /=1 и
F'non(k) = i-2L + (3/2) L2. (12.35)
Без учета спин-орбитального расщепления (A0 = O) / = 0, т. е. рассеяние с переворачиванием спина не играет роли, а из (12.34) имеем
Кол (к) = 1-2L + (4/3) L2. '(12.36)
Поскольку L принимает значения в пределах 0 =? L =? 1/2, что соответствует є,,-»-0 и Bg^-oo, то, как видно из (12.34) и (12.35), ' ^пол(А)<1. Например, для InSb с концентрацией п = IO19 см-3, Eg«0,2 эВ величина L a 0,4 и, согласно (3.34) или (12.35), Enosi 0,4. Таким образом, учет блоховских множителей существенно увеличивает время релаксации.
