Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
4. Рассеяние на полярных оптических фононах. Рассмотренный в предыдущем .пункте механизм рассеяния на пеполярпых оптических фононах является единственным механизмом взаимодействия носителей заряда с оптическими колебаниями в кристаллах с ковалентной связью — в гомеополярних кристаллах. К таким относятся полупроводники типа n-Ge. Элементарная ячейка этих кристаллов состоит из нейтральных атомов, и- поэтому при оптических колебаниях возникает только потенциал деформации. Однако в гетерополярних — ионных (NaCl, KCl и др.) или с ионной долей химической связи (соединения типа A111Bv — InSb, GaAs и др.) кристаллах при оптических колебаниях решетки, помимо деформационного потенциала, возникает электрическая поляризация, которая вызывает дополнительное взаимодействие этих колебаний с носителями заряда. Этот механизм, носящий название рассеяние на полярных оптических фонтах, во- многих кристаллах существеннее, чем рассеяние на акустическом и оптическом деформационном потенциале. Настоящий пункт посвящен этому механизму рассеяния.
Рассмотрим кубический кристалл с ионной долей химической связи с двумя ионами в элементарной ячейке (полупроводники тина A111Bv и A11Bvi). Нас будут интересовать длинноволновые
8 Б. М. Аскеров ИЗ
+ в (8 - too) ехр (HtoJk0T) §- к? (е - Ti(O0)I (11.61)
1 я
т (8) У2 Pa2CO0Jl3
зTV0^ /є + Tico0 + ехр^je (є - Sco0) /є - 7ш0).
(11.62)
(11.63) оптические колебания, при которых разноименные ионы, смещаясь в противоположную сторону, вызывают поляризацию решетки. Эта поляризация распространяется по кристаллу и образует поляризационную волну. Вектор поляризации, возникающий при этом в точке г, согласно [3], имеет вид
'р(г) = (ІУЛ/0й)2(^)/^4яи*)1/2(іі1 - u2), (11.64)
где M0 = M1 ¦ MJ (Mi + M2)—приведенная масса элементарной ячейки, Mu Mz — массы ионов, (0(?) —частота продольных оптических фононов,
1/х* = 1/х„ - 1/х„, (11.65)
^oo и Xc — высокочастотная и статическая диэлектрические проницаемости кристалла, N — число элементарных ячеек в кристалле с объемом V.
В случае длинных волн (q 0) смещение ионов дается (11.24). Учитывая это, (11.64) можно переписать в следующем виде:
(Мл ш2 \ 1/2 V^ Vl
PW= 2 2 (eii(q)-e2i(q))X
\ 1 q і=4,5,в
X (bj (q)exp (jqr) + b* (q) exp (— jqr)). (11.66)
В длинноволновом приближении (<?->- 0), согласно (11.4a), вектор ej(q) веществен. Тогда (11.46) в нашем случае (s = 2) имеет вид
M^lj + М2е\} = M1 + M2. (11.67)
Для нахождения (е1; —e2j) к уравнению (11.67) добавим условие 'неподвижности центра масс элементарной ячейки при длинноволновых оптических колебаниях:
M1Clj + M2e2j = 0. (11.68)
Из последних двух уравнений легко найти
е„ = (MJMi)^ej, e2j = -(MiZM2)^ej, (11.69)
где ej — единичный вектор, определяющий направление смещения при колебаниях данной ветви. Видно,, что ионы в элементарной ячейке действительно смещаются в противоположных направлениях.
С учетом (11.69) выражение (11.66) принимает вид
р (г) = {т Ш*) 2 2 е> ^ (ч) exP (М + ъ* (ч) exP (— {ЧГ)).
\ ' q j—4,5,6
(11.70)
тде M = Mi + M2 — масса элементарной ячейки.
Вектор поляризации P (г) эквивалентен наличию связанного заряда с плотностщо ps(r)= —divP(r), что соответствует скаляр-114 . • ному потенциалу ср, удовлетворяющему уравнению Пуассона *) Vcp = -4npg = 4ndivP(r). - (11.71)
Подставляя (11.70) в это уравнение, легко можно найти ф И тем самым определить энергию возмущения Ж-аол = ± еф, связанную с поляризационными оптическими колебаниями решетки. В результате имеем
_. (м Али2 (Q)Y'* V Vi/
^пол = Ч-ІЄ (у —^ Z Z -S (т) X
4 q І=4,5,6?
X (Mq) ехр (iqr) + Ь* (q) ехр (— iqr)). (11.72)
Из этого выражения видно, что носители заряда взаимодействуют только с продольными поляризационными оптическими колебаниями, для которых e^llq и (e^q)=?. Поэтому в сумме по І остается всего один член, и в дальнейшем индекс, показывающий номер ветвй, мы опустим.
Поступая точно так же, как и в случае рассеяния па акустических фононах [переход от (11.27) к (11.34)], из (11.72) легко получим вероятность перехода к -»- к' благодаря взаимодействию носителей заряда с полярными оптическими фононами:
Wuoa (к, к') = S W (q) (ЛІ/ (q) + Akk, (q)), (11.73) q
где Лкк' (<?) дается формулой (11.35), а
u;(g) = (4nV/F>c*)(co(g)/g2), (11.74)
со (<?) —частота продольного оптического колебания.
Если не учесть дисперсии оптических фононов со(д)=со0, ТО суммирование по q в (11.73) с помощью законов сохранения импульса дает замкнутое выражение для вероятности перехода при рассеянии па полярных оптических фононах:
Wnon (к, к') = "°к)2 [TV0б (ек, _ ек - 7ш0) +
+ (TV0+ 1)6(ек,-ек + Jmd0)], (11.75)
где N0 — число оптических фононов с предельной частотой CO0 (11.55).
Из (11.75) видно, что, в отличие от иеполярнЫх фонопов, в случае рассеяния на полярных оптических фононах вероятность перехода существенно зависит от направления к и к'. Поэтому формула (11.56) для пблярньїх оптических фононов несправедлива, и в общем случае нельзя ввести время релаксации при рассеянии на полярных оптических колебаниях.
