Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
3. Полупроводники со смешанной проводимостью. Если в проводимости, кроме электронов проводимости, участвуют и дырки в валентной зоне, то в (13.26) — (13.29) нужно учитывать и вклад дырок. Так как условие равновесия между электронами проводимости и дырками учтено при вычислении химического потенциала системы (см. §§ 5 и 6), то мы можем рассматривать электроны и дырки как две независимые системы и написать для каждой из них выражение для плотности тока и потока энергии. Алгебраическая сумма этих потоков даст полный ток j и поток энергии w:
j = j(n) + j(p),
(13.31)
W = W<"> + w<p>.
В этом случае компоненты тензоров проводимости в обобщенном законе электро- и теплопроводности (13.10) и (13.11) будут состоять из двух частей — электронной и дырочной, а именно
otife = ай' + ?ift = ?&> + .?LP), • xih = + (13.32)
Общие выражения для электронных частей компонент тензоров Oift ?it и Xift приведены в (13.12) или в (13.23) — (13.25)*). Выражения для дырок следуют из (13.12), если в них сделать замену соответствующих электронных величин на дырочные: (—е)->- (+е), % /о ->- /ор и т. д. В результате для дырочной
части компонент тензоров проводимости, аналогично (13.12), можно записать
Oift = <(— Vp)*-1),
= (13.33)
е 1
где ' .
/ор(е) = [1 + ехр (є — ^р/Ао?1)]-14—функция распределения для дргрок [см. (5.5) ], %р = —% — eg, Bg — ширина запрещенной зоны, тр(е), тР{в) и кР(в)—время релаксации, эффективная масса и величина волнового вектора дырок соответственно, е — величина заряда электрона.
*) В формулах (13.12) и (13.23) — (Т3.25) индекс «га» не указан, но они относятся к электрона^ проводимости.
140 ' , Если учесть, что
(Aij) = ре2 ((XrJmp) Aj( 1 + v2p)>,
где
<АрУ = 1? I "^f) &3р (Є) ^p (Є) (13-35)
р — концентрация дырок, то (13.33) можно представить, аналогично (13.23) — (13.25),, в виде
< = -Slj-T^iW)- (13'38)
Таким образом, используя (13.32), (13.23)-(13.25) и (13.36) — (13.38), в формулах {13.14) — (13.20) мы можем в принципе вычислить все основные кинетические коэффициенты в полупроводниках со смешанной проводимостью.
§ 14. Явления переноса в отсутствие магнитного поля
В случае, когда отсутствует внешнее магнитное поле, однородная проводящая среда в основном характеризуется тремя кинетическими коэффициентами: электропроводностью, термо-э. д. с, и электронной теплопроводностью. Рассмотрим каждый из них в отдельности.
1. Электропроводность; дрейфовая подвижность носителей заряда. Если в ^-направлении к однородному проводнику приложим внешнее электрическое поле Е(Е, 0, 0), то в этом направлении возникнет электрический ток с плотностью j(/, 0, 0). Тогда из <13.10) и (13.23) имеем
j = CTu(0)? = we2 <х/т> E = O0E, (14.1)
т. е. электропроводность при отсутствии магнитного поля
о0 = епи, , (14.2)
где
и = е<т(г)/т(г)У (14.3)
— дрейфовая подвижность или просто подвижность носителей заряда. Сравнивая определение плотности тока через среднюю дрейфовую скорость j = en\d С (14.1), получим, ЧТО W = vd/Е, т. е. подвижность носителей заряда численно равна дрейфовой скорости при единичной напряженности электрического поля, а дрейфовая скорость электрона проводимости есть среднее
141 значение отношения импульса, приобретенного в электрическом -поле, еЕт, к эффективной массе тп: \d = <еЕт/тпУ.
Для нахождения явного вида подвижности (14.3) нужно исходить из определенных предположений. Если электронный газ в полупроводнике сильно вырожден, то, согласно (13.21) и (4.25), при любом изотропном законе дисперсии подвижность можно выразить через т(?) и m(t,) на поверхности Ферми, т. е.
u = ex{t,)/m{%F), (14.4)
где ^f — граничная энергия Ферми.
При любой степени вырождения необходимо использовать явный вид закона дисперсии, чтобы знать функции /га(є) и т(е). Будем исходить, из общего закона дисперсии Кейна (3.25) в трех-зонном приближении. Тогда из (3.25) и (9.46) для эффективной массы получим выражение
mlсУ 1 (2e + ^(e + eg+Ao)(u+eg+2/3Ao)-(V3)^ + eg) (Н5)
< 3? (е + 8^ +2/зДо)2
Отсюда легко получить связь эффективной массы на дне зоны проводимости mn = m (є-*-0) с параметром s (3.17) в трех-зонном приближении:
m __LMf?+\l (14 6)
m»~ з/ (ге + V3^y <14'b>
Это выражение также следует из (3.18), если в последнем считать, что т0 > тп. При A0 -*- °° (14.6) сводится к (3.21).
Подставляя (3.25) в (4.10), с учетом (14.6) для концентрации электронов проводимости получим формулу
п = (2^nV)372 ( 1 ±1*иь_\3/2
зл2к3
[jTrf-) ^3/2,o(ri,?,6); (14.7)
здесь
?, б)=-
OO
я-
dU \ Xm [(¦» + ?^2) (1 + ?* + ft)]" (1 + ?* + 2Z3Sfh~ndx дх > [(l + 2?z) (l + ?* + o) (l + ?^ + 2/36)-1/3?S(^ + ?x2)]'!
(14.8)
— трехпараметрические интегралы Ферми, где /0 = [1 + + ехр (а; — т])]_17 и введены обозначения
x = e/k0T, ц=^г/к0Т, ? = U0TZe1, б = A0Zee. (14.9)
Отметим, что все кинетические коэффициенты в трехзонном приближении выражаются через трехпараметрические интегралы вида (14.8) с различными индексами. Эти интегралы при 6 °° переходят к табулированным двухпараметрическим интегралам (4.29).
