Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь мы будем исходить из известной модели Кейна, так как она является наиболее общей моделью, описывающей движение носителей заряда во многих полупроводниковых соединениях типа A111Bv и A11Bvi. Ярким примером соединений первой группы является InSb, а второй группы — HgTe, в которых непараболичность играет важную роль.
2. Учет блоховских волновых функций в рамках модели Кейна; полупроводники типага-InSb. Теория рассеяния и явления переноса в полупроводниках с узкой запрещенной зоной, у которых зона проводимости существенно непараболична, начала интенсивно развиваться в семидесятые годы', хотя впервые в работе Эренрайха [30] в 1959 г. непараболичность учтена при рассмотрении подвижности и термо-э. д. с. в InSb. Вычислению времени релаксации для различных упругих механизмов рассеяния с учетом блоховских волновых функций на основе модели Кейна посвящено довольно'много работ [31—36]. Обсуждение некоторых из этих работ можно найти в обстоятельном обзоре Завадского [37], посвященном электронным явлениям переноса в полупроводниках с узкой запрещенной зоной.
В одноэлектронном приближении волновая функция и энергия носителей заряда в полупроводнике определяются из уравнения (1.13), которое символически можно представить в виде
M0Vnkjz (г) = Enj2 (k) 1Fnkjz (г), (12.8)
где Ж0 — невозмущенный гамильтониан, т. е. квадратная скобка в уравнении (1.13), п — номер энергетической зоны; U — проекция полного момента электрона. Елоховская волновая функция, нормированная на объем кристалла У,
1Fnkiz (г) = V'1"2 Unkjz (г) exp(ikr) (12.9)
удовлетворяет уравнению (12.8). Явный вид Елоховского множителя Unkjz (г) и энергии enjz (к) можно найти в определенном приближении или для конкретной модели. Здесь мы будем исходить из известной модели Кейна (см. § 3). ~ 126 Поскольку нас будет интересовать только зона проводимости, то в дальнейшем номер зоны п опустим и положим /,«=»±1/2, так как в этом случае полный момент совпадает со спиновым моментом. Энергия электрона проводимости от направления спина не зависит и, согласно решению Кейна, определяется из уравнения (3.10), которое в различных приближениях приводит к законам дисперсии (3.19), (3.24) и (3.24а).
Елоховские множители для электрона проводимости в полупроводниках типа n-InSb, согласно модели Кейна, имеют следующий явный вид [32]:
Ukll72 + R+ + c^z) I -
(12ЛОа)
Wk,_1/2 = (iaS + d+ Ь. R- - d+%- R+ + с -?- z) I +
+ (12Л0б>
где к± = кх±ку, R± = (X±iY)/V2, стрелки t и I показывают направления спина вверх и вниз, S и X, Y, Z есть волновые функции s- и р-симметрии, d± =(1/2) (b ±с У 2), коэффициенты а, Ь, с даются выражениями
а2 = 1 — L, Ь2 = ( 1/3) L?2, с2 = (2/3) Lf, (12.11?
где
Г _ е R2__^O_ 2 _ Д0 +3/2Bg Z10 1
Р ~ (Ао+Л)(До+3/^)' А. + -,' U '
eg — ширина запрещенной зоны, Д0 — величина спии-орбитально-го расщепления валентных зон (3.12).
Условию нормировки блоховских амплитуд (12.10) соответствует равенство а2 4- Ь2 + с2 = 1. Как видно из (12.10), если сцин-орбитальное расщепление отсутствует ("6 = 0), то блохов-ские множители чисто спиновые. Отметим, что для полупроводников с широкой запрещенной-зоной (е«>е) L « 0, т. е. а » Ir-Ъ « с « 0. В этом случае зона проводимости параболична, а блоховские множители имеют простой вид mk, 1,2 = IS t и Uy, _1/2 = iS f.
Учет блоховских множителей в теории рассеяния в борнов-ском приближении сводится к тому, что при вычислении матричного элемента потенциала возмущения (10.7) необходимо использовать блоховские функции (12.9) с амплитудой (12.10), а не плоские волны (10.18), как было сделано в предыдущих двух параграфах. Когда вычисляется матричный элемент возмущения в представлении (12І9), встречаются интегралы от произведения некоторой функции ф(г) на блоховские амплитуды и(г)
, 127 по всему объему кристалла V. Согласно общепринятой процедуре эти интегралы можно представить в виде [32]
Jф (г) и (г) dr = f ф (г) dr-L J и (г) dt0f (12.13)
0S
где ?2о — объем элементарной ячейки. Тогда на основе (12.13)] матричный элемент возмущения Эв' есть
<k'7x I Ш'\k/z> = -L J ехр [І (к - к') г] M'uklj,uk3z dr =
V z
= -Ljj&' ехр [і (к - к') Г] J' и*, VMkjz dr0. (12.14)
0 М0
Интегралы первого типа в (12.14) для различных конкретных возмущений вычислены в предыдущих параграфах. Видно, что для учета блоховских множителей надо определить интегралы по объему элементарной ячейки Q0- Отметим, что разбиение матричного элемента на два интеграла предполагает малое изменение потенциала возмущения в пределах одной элементарной ячейки.
Используя явный вид блоховских множителей (12.10), а также учитывая нормировку для функций S и X, У, Z:
-1<5|Я>=^<Х|Х>=-^<У|У>=^<2|2> = 1, (12.15)
легко найти интегралы для переходов (к, 1/2) (к', 1/2) и (к, 1/2) (к', —1/2), соответственно,
Y- J ИкМ'2 -Uk1IZadr0 = [a2 + (?2 + с2) COS0],; (12.16)
0 о,
j-J«k',-i/2»k>i/a^o = & Ъ - с K2]sin OeitP. (12.17)
Qo
Ч
При вычислении этих интегралов для простоты, но не нарушая общности [38], предположили, что ось Z направлена по вектору к, и рассеяние считали упругим, к = к'; кроме того, ввели обозначения: ф — полярный угол вектора к', 0 — угол между векторами к' и к, т. е.
