Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
*) Наличие свободных зарядов в кристалле не учитываем, т. е. пренебрегаем экранировкой поляризационного поля. Учет экранировки обсуждается в п. 6 настоящего параграфа. .'
8* 115 Процесс рассеяния на полярных оптических фононах можно описать временем релаксации только в двух предельных случаях: в случае высоких температур (к0Т > 7ш0) и'низких температур (к0Т CTta0). Отдельно рассмотрим эти случаи.
В области высоких температур (к0Т>Ъа0) неупругостью можно пренебречь, Єк' a; єк и N0 + 1 « N0 « к0Т/Ъа0. Тогда (11.75) примет вид
WWk1 к') = -^-TF- (к/ Ь)» 6^ - Єк>' ^11-76)
Подставляя (11.76) в (9.23), переходя, согласно (2.15), к интегралу по ^k' в сферической системе координат с полярной осью вдоль к и используя 6-функцию при интегрировании по величине к', легко получим выражение т(&), справедливое для произвольной изотропной зоны*):
т (к) = (х*Ъ/2е2к0Т)(дв/дк). (11.77)
Заметим, что, в отличие от неполярной оптики, х(к) в случае рассеяния па полярных оптических фононах при высоких температурах от частоты фононов не зависит [ср. формулы (11.77) с (11.58)]. Для стандартной зоны г{к) = Ъ2к2/2тп (11.77) принимает известный вид
т(є) = (1/2а) (Ъ/а0к0Т)1/2(е/к0Т)1/2, (11.78)
где
а = (е2/х*Ъ)(тп/2Йо)0)1/2 (11.79)
— безразмерный параметр, введенный Фрелихом, который характеризует взаимодействие электрона проводимости с длинноволновыми продольными оптическими фононами в ионных кристаллах.
Приведенный здесь расчет времени релаксации основан на теории возмущения и справедлив в том случае, когда а < 1. Для многих полупроводниковых соединений A111Bv и A11Bvl это условие хорошо выполняется. Например, для InSb а = 0,015, для GaAs а = 0,054, для InP а = 0,031, для GaP а = 0,092, для CdTe а = 0,39 и для CdS а = 0,65 [6, 59].
Длина свободного пробега носителей заряда, обусловленная рассеянием на полярных фононах, согласно (11.78), при E^k0T равна
г-л = —т = -(^) . (11.80)
Если оценить Iaoil, то для всех соединений A111Bv и A11Bvi получим, что Iaoa > а.
*) Как видно из вывода (11.77), в отличие от неполярных оптических и акустических фононов, в случае рассеяния на полярных оптических фононах в процессе релаксации процессы ухода и прихода играют одинаково важную роль.
416 Отметим, что тпол ~ ^-V'2, тогда как т0ПТ ~ Т~1г~иг (11.60). Следовательно, с ростом энергии є рассеяние на неполярных фононах может стать, доминирующим (Топт < ТПОл), что, по-видимо-му, имеет место в сильных электрических полях для горячих электронов.
В области низких температур (к0Т < Ti(D0) процесс рассеяния на оптических фононах существенно неупругий, и нельзя ввести время релаксации, как мы ввели, основываясь на факте упругости взаимодействия [см. формулу (9.23)]. Однако здесь другое обстоятельство позволяет процесс релаксации описать временем релаксации [21]. Знаем, что в этом случае механизм взаимодействия' состоит из перехода є (к) ->- є (к') = є (к) ± Tia0 (уход из состояния к) и є(к')±Йи0 + є(к) (приход в к-состояние) благодаря поглощению и испусканию фонона. При низких температурах (к0Т <Ъ®0) из этих четырех процессов, очевидно, может иметь место только один: є (к) -»- є (к') = є (к) + Tia0, т. е. возможен только уход из к- в другие к'-состояния с поглощением фонона. Поглотив фонон, эти же электроны мгновенно (спонтанно) испускают фонон с такой же энергией Tiai0, так как отношение вероятности испускания к вероятности поглощения равно (N0 + l)/iV0 да ехр(7шJk0T)^> 1. Благодаря такому процессу про~ исходит релаксация по импульсу, а энергия электрона не меняется. Поскольку эти процессы поглощения и испускания фононов происходят мгновенно, то функция распределения /(k') не успевает измениться. Поэтому в (9.7) можно пренебречь членом, пропорциональным Л(к'). Тогда время релаксации будет иметь вид (11.56), только с той разницей, что теперь в (11.56) будет входить та часть вероятности (11.75), которая связана с поглощением фононов, т. е. в этом случае
тЬг g (k' - к)- 8 """ - *->• (1Ш>
Согласно (2.15) перейдем к интегрированию по ^k' и полярную ось сферической системы координат направим вдоль к. При этом интегралы по углам легко вычисляются. Затем от интегрирования по dk' перейдем к интегрированию по de' и используем закон сохранения энергии. В результате для произвольной изотропной зоны при произвольной степени вырождения носителей тока получим выражение
¦2со0 /0 (е + I(O0) к (е+I(O0) дк (є+ K(Q0) р(е + 6со0) + fc(e)1 к* /0(е) к (в) de n[fc(e+ftco0)-fc(e)J*
. * (11.82)
т(е)
В этой формуле предполагается, что є < Tta0, и поэтому N0 « « ехр(— TiaJk0T).
Для параболической зоны /с(е) = (1/Й) (2mne)1/2. Если разложить логарифм по малой величине г/Tiat0, из (11.82) следует
117 простое выражение .
1/т (е) = 2осш0/о (в + Ao>o)//o (11.83)
где а дается формулой (11.79).
При отсутствии вырождения /о(є) = ехр((? — г)Jk0T), и из (11.83) получаем известный результат [13]
T = (2aci)0)_I ехр (Tia)0Jk0T). (11.84)
Видно, что при рассеянии на полярных оптических фононах т от энергии є не зависит только в случае невырожденных полупроводников с простой параболической зоной. В общем случае, как следует из (11.82) и (11.83), т зависит от энергии, причем не как степенная функция. Но г от температуры зависит экспоненциально.
