Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
5. Рассеяние на пьезоакустических фононах. Если в кристаллах с ионной долей связи отсутствует центр симметрии, то в них при распространении акустической волны, помимо деформационного' потенциала (11.26), может возникать потенциал электрической природы — пьезоэлектрический потенциалК пьезоэлектрическим кристаллам относятся цинковая обманка ZnS, некоторые соединения A111Bv (например, InSb, GaAs), A11Bvi (CdS, CdSe)' и многие другие [28]. Этот механизм рассеяния впервые был рассмотрен Мейиром и Полдером [29].
Определим явный вид. рассеивающего" пьезоакустического потенциала. Известно, что вектор индукции
D = E + 4яР, (11.85)
где E — электрическое поле, a P — вектор поляризации среды. При наличии пьезоэлектрического эффекта в кристалле имеется дополнительная поляризация, пропорциональная деформации. Тогда компоненты вектора поляризации можно представить в виде
Pa = X0aoEa + ?0> ^vMtiv, (11.86)
где х0аа — тензор поляризуемости, ?o, |iv — пьезоэлектрический тензор третьего порядка,.
~ 1 ( du., duv \
+ ("-87)
— тензор деформации; компоненты вектора смещения Ull или Uv в случае акустических колебаний определяются (11.25).
Подставляя (11.86) в (11.85), для компоненты вектора индукции получим
Da = KaaEa+ 4n?a, ^vK11V, ' (11.88)
где Xaa = 1 + Anxoaa — тензор диэлектрической проницаемости.
G другой стороны, известно, что Е — —Vfp5 а D удовлетворяет уравнейию Пуассона
div D = 4яр, (11.89)
где ф — скалярный потенциал, р — плотность свободных зарядов. 118 • Из последних уравнений в общем случае произвольной деформации в кристалле произвольной "симметрии следует уравнение
=-4яР) (11.90)
из которого в принципе можно определить ф и, следовательно, энергию взаимодействия носителей заряда с- пьезоакустическими колебаниями решетки:
= -еф. (11.91)
Согласно (11.25) тензор деформации (11.87) имеет вид
"^v ^ о -!/Tr 2 2 • (e^ev + [bj (ч) exP (fqr) —
1 V H q і=1,2,3
— (q) exp (-iqr)b (11.92)
Здесь мы не будем учитывать экранировку пьезоэлектрического поля носителями заряда, полагая р = 0. Учет экранировки обсуждается в следующем пункте. Подставляя (11.92) в уравнение (11.90) при р = 0, легко получить его решение ф и, следовательно,
J^biiV2 2 + Ibj (q) ехр (iqr) -
— Ь) (q) ехр(—iqr)}. (11.93)
Явный вид тензоров Kaa и ?a, nv ОПрЄДЄЛЯЄТСЯ Симметрией КрИ-сталла. Для кубических кристаллов типа цинковой обманки {соединения типа A111Bv) диэлектрическая проницаемость является скаляром Xao = хба,,, а пьезоэлектрический тензор имеет лишь одну независимую компоненту [5]
?*. = ?*, = ?r, XZ = ?», и = ?,,= ?,. „ = ?; (11.94)
?a, nv = 0, если совпадают хотя бы два индекса.
Если даже учесть эти свойства тензоров, потенциал взаимодействия (11.93) остается сильно анизотропным. В общем случае такое рассеяние не описывается скалярным временем релаксации. Поэтому введем некоторую константу Evz, усредненную по углам:
2л
Pta1IiV + -V =Lepz, (11.95)
предполагая, что она одинакова для всех трех акустических ветвей. Кроме ТОГ0, предположим, что скорости продольных и поперечных акустических волн почти не отличаются *): иа « v± = v0. Тогда (11.93) имеет простой вид
=—^L^W^l(b(4)exP(iqr)-b*(q)exp(-iqT)). (11.96)
*) Для InSb Wj.)2-= 2,2. .
• 119 Коэффициент Hjf1 называется пьезоэлектрической константой и по порядку величины равен Ерг « IO-5 Кл/см2.
Используя матричные элементы (11.32) и (11.33), легко получим выражение для вероятности перехода, обусловленной рассеянием на пьезоакустических фононах, аналогичное (11.34):
Wpz (к, к') = 2 wpz (?) Ukk' (?) + ^kk' (<?)), (11.97) q
где -<4кк' (q) дается формулой (11.35), а
Wpz (q) = (He2E2pzZxiNMd) (?)). (11.98)
Дальнейшие вычисления аналогичны вычислениям при рассеянии на деформационном акустическом потенциале. В этом случае также можно пренебречь неупругостью и ^V9 + 1 « Nq « ~ k0TJ~h(o(q), где (o(q) = v0q. После суммирования по q, согласно закону сохранения импульса, из (11^97) имеем
w¦»<"• "'»- C-I-)' 8(е" ¦ <и-99)
Подставим (11.99) в (9.23) и перейдем к интегралу по ^k'. В сферической системе координат полярную ось направим вдоль к. После интегрирования получим выражение хрг(к), справедливое для произвольной изотроппой зоны:
kJEl
pz
°pz
дк (е) 2n%x2pvl \ fc
¦). (11.100)
Если ввести безразмерный коэффициент электромеханической связи [И].
ПI = Elz/xpvl,
ТО Tp21 будет иметь вид
'=^Sl(H)- (И.Ш)
Vpz <*)
Во многих полярных полупроводниках безразмерный коэффициент Пц по порядку величины равен Ю~3 [И]. Для стандартной зоны г(к) = Ъгк2/2тп время релаксации (11.101) принимает вид
Трг (е) = i^L ( 2 у/2 /_е_\1/2 (11.102)
p W *ч U»vi IvJ '
V
При сравнении*последних двух формул с (11.77) и (11.78) видно, что зависимость времени релаксации тРг от температуры и энергии такая же, как и в случае рассеяния на полярных оптических фононах при высоких температурах. Однако заметим, что (11.101) и (11.102) справедливы вплоть до очень низких температур — почти во всей области температур. Сравним
