Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
142" Действительно, при б -*"оо (14.8) принимает вид
XU(ti, ?, оо) = (2/3)к-"С1к(Л,Р). (14-10)
где In,h ("П. ?)— Двухпараметрические интегралы Ферми (4.29), ¦ асимптотики которых приведены в § 4.
^B силу (4.25) при больших значениях параметра ті > 10 можно пайти асимптотические выражения трехпараметрических интегралов (14.8), которые приведены в § 24 книги [16].
Для получения окончательного выражения подвижности надо еще найти явный вид т(в). Здесь мы не учитываем влияние блоховских множителей и исходим из выражения (12.4) для т. Тогда, если в (12.4) учесть закон дисперсии (14.5), то в трех-зонном приближении для т(є) в обозначениях (14.9) получим следующую формулу:
т(є) = тог(Г)(-^^-)Г 372 X
г—1/2 іл і а _ і 2 / к\5/а—г
(14.11)
X
Г
[(.г + ?r2) (1 + Вт- + У1г~1/2(1 + Ат +
(1 + 2?z) (1 + ?z + S) (1 + ?z + 2/з5) - -o- S? (x + ?x2)
где параметры Iar(T) для разных механизмов рассеяния даны в табл. 5, причем в случае рассеяния на ионах примеси радиус экранирования в трехзонном приближении, согласно (10.27) и (3.25), дается следующим выражением*:
' " г2_ *У- ^8В/2.о(1.Р.в» (1412)
0 6пе2н .TJ72^1(T), ?, б)
Используя (14.5) и (14.11) в (14.3), согласно (13.21), в трех* зонном приближении для подвижности получим
и = еХ°г[Т) [ 1 + '/»в У"6/2 3rT+!.^' P' 6>. (14_ 13)
п V 1 + б ; 3^,0 Oi, р, S)'
Это самое общее выражение для подвижности, из которого получаются все частные результаты. Из (14.13) следует, что температурная и концентрационная зависимости подвижности в , общем виде носят очень, сложный характер. В частности, и(Т) для разных механизмов определяется не только т0г (T), но также параметрами т] и ?.
Подвижность необходимо исследовать по формуле (14.13) тогда, когда в полупроводнике величина спин-орбитального расщепления A0 и ширина запрещенной зоны Sg сравнимы. Примером таких полупроводников может служить InAs (см. табл. 2). Однако во многих полупроводниковых соединениях A0 больше, чем ef, и для них (например, для InSb; см. табл. 2) достаточно рассмотреть явления переноса ^двухзонном приближении Кейна, , н. е. исходить из» закона дисперсии,- полученного с учетом
143" взаимодействия только двух зон: зоны проводимости и зоны легких дырок.
В двухзонном приближении Кейна (A0 ^ eg) закон дисперсии электрона проводимости имеет простой вид (3.26), а эффективная масса
|»(е) = 1»»(1 + 2е/е,)", -(14.14)
и время релаксации
т(е) — Xor(T) (1 + 2?z)~'(z + №)'-и\ (14.15)
что следует из (14.5) и (14.11) при б °° соответственно. В этом случае радиус экранировки г0, согласно (14.12) и (14.10), есть
6JieiTi I0ll2^1 (T), ?)
Концентрация электронов проводимости п в двухзонном приближении определяется формулой (4.43), а подвижность
(Tb ?)
Aim (*Ь ?)
(14.17)
которая получается из (14.13) при б
В некоторых полупроводниках параметр непараболичности ? достаточно мал и зона проводимости почти параболична. Например, для GaAs при комнатной температуре ? = A0TVeg « 0,01. Для полупроводников с параболической зоной (? < 1) концентрация дается (4.44), а подвижность, в силу (4.31) и (14.17), имеет вид
и_ «0г (T) FT+1(Tl)
тп F312 (ті) • 4 ¦ >
В случае невырожденных полупроводников с параболической зоной из (14.8), в силу (4.38), получим
" = TWr<r + 2>^- (1419>
Видно, что в этом простейшем случае (параболическая зона, невырожденный электронный газ и действие только одного механизма рассеяния) зависимость подвижности от эффективной массы и температуры определяется величиной х0г(Т, тпп). Из табл. 5 следует, что Ter (T) ~ TnrrTzl21 а температурная зависимость Tor ~ Tr-3/2 для рассеяния на фононах (г = 0 при акустических и нёполярных оптических, P=I при полярных оптических и пьезоакустических фононах) и т0г ~ ТГ~1П для рассеяния на точечных дефектах (г = 0) и ионах примеси (г = 2).
Следовательно, в невырожденных полупроводниках при низких температурах, когда рассеяние в основном происходит на
144 ' - ' ' ионах примеси,
и~т^'2Т3'2, (14.20)
а при высоких температурах, когда рассеяние происходит на акустических фононах,
тпп
-5/2J-3/2 . • (14.21)
и оптических фононах
~ тп 372!1-172.' (14.22)
Обычно указанные температурные зависимости подвижности на эксперименте не наблюдаются, так как они получены для идеализированной модели. Причины расхождения могут быть разными: зависимость эффективной массы пгп и деформационного потенциала от температуры, отклонение зоны от параболичности, частичное вырождение электронов проводимости, одновременное действие двух или нескольких механизмов рассеяния и т. д.
Отметим, что учет непараболичности зоны также существенно влияет на температурную зависимость подвижности. Это можно продемонстрировать, если (14.17) применять в предельном случае сильно иепараболической зоны. В этом случае, согласно (4.32), из (14.17) следует
M4 аз)
: и- шп \кот) AFg (Tl) • -(U-M)
Поскольку для всех механизмов Tor ~ т^372, то (14.23) зависит от отношения Bg/2тп = s2, что считается постоянной величиной. В невырожденном случае FzrZF3 = '/вГ(2г + 1), и поэтому при рассеянии на акустических фононах uaK ~ T1-4, так как T0O ~ J-3''2. Таким образом, учет непараболичности усиливает температурные зависимости подвижности.
