Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
п> (2mnkaT)s/2/3n2V. (11.120)
Таким образом, в вырожденных полупроводниках экранировка важна до некоторого значения концентрации, определяемого условием (11.119). При больших концентрациях длина дебройлевской волны носителей заряда становится меньше, чем радиус экранировки, и нарушается условие (11.116), следовательно, экранировка не играет роли.
§ 12. Теория рассеяния носителей заряда в полупроводниках
с учетом блоховских волновых функций
л
1. Обобщенная формула для времени релаксации. Прежде чем перейти к вопросу о роли блоховских волновых функций в теории рассеяния носителей заряда в полупроводниках, подытожим результаты, полученные в двух предыдущих параграфах.
В простейшем случае, когда зона имеет параболическую фор-„му (3.1) и движение носителей заряда описывается плоской
123 волной (10.18), время релаксации для всех упругих механизмов рассеяния можно свести к следующей формуле:
т(е)=т„г (T) {ъ/каТу-ч\ (12.1?
Значения параметра рассеяния г и среднего времени релаксации Тот (T), полученные из сравнения (12.1) с формулами
Таблица 5
Значения параметров, входящих в формулы (12.2) и (12.4), для времени релаксации при различных механизмах упругого рассеяния
Механизмы рассеяния Параметр рассеяния г T0r(T) ^O г
Точечные дефекты (короткодействующий потенциал) 0 яЛ4 mn '(2m„ft0 Г) 1/2 U20Ng f ^
Акустические фононы (потенциал, деформации) • 2яЛ4рг2 0 nE2k0T
0 JE2 (2™пЬ0Г)3/2 Йр«о
Неполярные оптические фононы. Высокие температуры (к J » » ?ш0)*) 0 2 / naO Y Tficfiр л { Е0 J (ZmnU0Tf чЧ ( Е° \2 k°T \Ли0 ) ра2
Полярные оптические фононы. Высокие температуры (к0Т » > Аш0) 1 1 / П \1/2 2а \ CO0S0T ) 2312еЧ0Т К*П
Пьезоакустиче-ские фононы 1 Zxffix I Z у/2 с2д2 ImnftftT ; яс2й()ГП0 2 Ш
Ионы примеси 2 *Vmn)i/2 Msl2 2H3WiFnp(й)
ReiNiFnp (?) Tivfi
*) При низких температурах (k0 Г< Л (O0) в случае рассеяния на полярных и неполярных оптических фононах т от энергии не зависит (г = 1/2) и для параболической зоны дается. формулами (11.63) и (11.84) соответственно.
(10.49), (11.44), (11.60), (11.78), (11.102) и (10.31), для различных упругих механизмов рассеяния приведены в табл. 5.
Видно, ЧТО Iot(T) ПОЧТИ ДЛЯ ВСЄХ МеХЭНИЗМОВ рЭССвЯНИЯ OT энергии не зависит, а т(е)> является степенной функцией энергии. Исключение составляет рассеяние на ионах примеси. В этом случае за счет экранировки в т0г(Г) появляется функция Fap (е),
124 a0r(T)={: . (12.3)
явный вид которой дается (10.30). Однако эта функция довольно слабо зависит от энергии, поэтому при интегрировании обычно ее считают постоянной и выносят за знак интеграла, положив є = е, где є — средняя энергия носителей заряда.
Теперь напомним, как изменяется время релаксации (12.1) при учете других факторов: экранировки при рассеянии на полярных оптических и пьезоакустических фононах и отклонения зоны от параболичности. Согласно (11.109) и (11.113) учет экранировки приводит к появлению функции Fnon(є), приведенной в (11.110). Таким образом, при учете экранировки T0i (T) для рассеяния на полярных оптических и пьезоакустических фононах следует заменить на Tqjp = т01/^ПОл (є).
Для выяснения вопроса о том, как изменится т(е), если зона непараболичяа, формулу (12.1) удобно представить в виде
т-l = a0t (T) erg(e), (12.2)
где g(e) —плотность состояний для параболической зоны (4.12), а
(2«и)3
Предположим, что зона непараболична, но сферически-симметрична, т. е. энергия есть произвольная функция волнового числа e = e(Jc) или, что то же самое, Jc есть произвольная функция энергии Іс = к(в). Однако будем считать, что носители заряда описываются плоской волной (10.18). В этом случае, согласно формулам (10.48), (11.43), (11.58), (11.77), (11.101) и (10.29), т-1 (є) для всех механизмов имеет вид
T-* =Aork-2'(E)g (к (г)), (12.4):
где g(k(E))—плотность состояний произвольной .сферически-симметричной зоны (4.9), а значения Aor приведены в табл. 5*).
Из сравнения (12.4) и (12.2) видно, что т-1 имеет общую структуру:
х-1-W (e)g(e), (12.5Ї
где W(e)—вероятность рассеяния. Видно, что для параболической зоны здш разных механизмах рассеяния
' • ИЧє)~є"г, (12.6)]
а для непараболической зоны
. w(e)~k-2r(e). . (12.7)
Однако отметим, что при получении (12.4), следовательно (12.7), в предыдущих параграфах непараболичность зоны учтена непоследовательно. Было предположено, что закон дисперсии
*) При учете экранировки для полярной оптики и ньеэоакустики, согласно (11.109) и (11.113), A0r следует умножить на ?Пол(&) (11.110).
125" носителей Заряда ненараболичен, но когда вычислялся матричный элемент, т. е, вероятность перехода к -*¦ к', то в качестве волновых функций начального и конечного состояний использовали плоскую волну (10.18). В этом случае, как видно из (12.7)', функция вероятности рассеяния — A-2r(e)'. Вопрос ставится так: как изменится эта зависимость, если при вычислении матричных элементов перехода использовать не функцию плоской волны, а настоящие блоховские волновые функции, описывающие движение носителей заряда в кристаллической решетке? Естественно, на этот вопрос нельзя ответить в общем случае, так как неизвестно решение уравнения Шредингера для произвольного периодического потенциала решетки. На поставленный выше вопрос можно ответить только в рамках конкретной модели и определенного приближения.
