Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
4) Множитель 2 появляется из-за того, что на каждом уровне, задаваемом значениями п и к,могут быть размещены два электрона с противоположными спинами. Мы предположили, что Qn (к) не зависит от спина электрона s. В противном случае множитель 2 следует заменить суммированием по sz. •150
Глава 4
где для каждого п сумма бевется по всем разрешенным к, которые соответствуют физически различным уровням, т. е. по всем волновым векторам к вида (8.27), принадлежащим одной элементарной ячейке ').
В предельном случае большого кристалла разрешенные значения к (8.27) располагаются очень близко друг к другу, поэтому суммирование можно заменить интегрированием. Поскольку на одно разрешенное значение к [формула (8.29)] приходится такой же объем в /с-пространстве, как и в случае свободных электронов, остается справедливым и правило (2.29), найденное нами для свободных электронов. В результате мы получаем 2)
^iT- = 2Sj fsgs <?»<*>. (8.54)
п
где интегрирование ведется по объему одной элементарной ячейки.
Если, как это часто бывает 3), Qn (к) зависит от п и к только через анергию In (к), то мы можем продолжить аналогию со случаем свободных электронов и определить g (Щ — плотность уровней на единицу объема (или просто «плотность уровней»). Тогда плотность q будет иметь вид [ср. (2.60)1
q=№g (S)Q(Z). (8.55)
Сравнивая (8.54) и (8.55), находим
(8.56)
П
где плотность уровней в п-й зоне gn (Щ дается выражением
ёп(%)=) ~ЦШ-Пп(к)У, (8.57)
здесь интегрирование проводится по любой элементарной ячейке.
Плотность уровней можно представить также и в иной форме, замечая, что, как и в случае свободных электронов [формула (2.62)], справедливо следующее соотношение:
gn (Ш) d% = (2/F) X (число разрешенных волновых векторов в п-й зоне
в интервале энергий от I до %-\-d%). (8.58)
Число разрешенных волновых векторов в n-й зоне в этом интервале энергий равно просто объему той части элементарной ячейки в /с-пространстве, в которой % ^ ёп (k) S 4- di§, деленному на объем Ak = (2n)3/F, приходящийся на одно разрешенное значение волнового вектора. Следовательно,
(8.59)
J 4Jl I 0 в остальных случаях
Поскольку величина d? бесконечно мала, это выражение легко представить также в виде интеграла по поверхности. Пусть Sn (ё) — та часть поверхности %п (к) = Ш, которая лежит внутри данной элементарной ячейки, а б к (к) — рас-
1) Функции Qn (к) обычно имеют периодичность обратной решетки, поэтому конкретный выбор элементарной ячейки не имеет значения.
2) При использовании этой формулы следует проявлять осторожность; см. замечание на стр. 50 — 51.
3) Например, если q — плотность числа электронов п, то Q (Щ = / (%), где / — функция Ферми, если же q — плотность электронной энергии и, то Q (%) = (%). Уровни электрона в периодическом потенциале
151
стояние по нормали между поверхностями Sn (Ш) и Sn (Ш + d%) в точке к. Тогда (фиг. 8.2)
gn(%)d%~ j -^гвА(к). (8.60)
871(?)
Чтобы найти явное выражение для б к (к), заметим, что Sn (Щ есть поверхность постоянной энергии. Отсюда вытекает, что градиент по к от Щп (к), т. е. Vfn(к), представляет собой вектор, который перпендикулярен этой поверхности и имеет абсолютную величину, равную скорости изменения Шп (к) в направлении нормали. Поэтому
Ш + дЖ = Ш + I V Шп (к) I 6ft (к) (8.61)
и, следовательно,
d%
6/c(k)-fv!7(k)|-
Подставляя (8.62) в (8.60), приходим к выражению
in (S) = j
dS
Sn (?)
4л3 I V«„ (k) I»
(8.62) (8.63)
которое устанавливает в явной форме связь между плотностью уровней и зонной структурой.
Формула (8.63), так же как и анализ, который нас к ней привел, будут использованы в последующих главах х). В данный момент мы лишь отметим существование одного совершенно общего свойства плотности уровней.
Как уже говорилось, функция ?„ (к) периодична в обратной решетке и при каждом значении п ограничена сверху и снизу, а, кроме того, в общем случае всюду дифференцируема; отсюда следует, что в каждой элементарной ячейке должны иметься такие точки к, в которых I Vg I = 0- Например, градиент любой дифференцируемой функции обращается в нуль в точках локальных максимумов и минимумов, а ограниченность и периодичность Шп (к) гарантируют, что при всяком п в каждой элементарной ячейке имеются по крайней мере один максимум и один минимум 2).
Когда градиент Sn обращается в нуль, в подынтегральном выражении в формуле (8.63) для плотности уровней появляется особенность. Можно показать, что в трехмерном случае 3) подобные особенности оказываются интегрируемыми и дают конечные значения для gn. Однако они все же приводят к обращению в бесконечность величины dgjdk, т. е. наклона кривой gn (%). Такие
х) См. также задачу 2.
2) Самое общее исследование числа точек с нулевым градиентом оказывается, однако, довольно сложным. См., например, [2].
3) В одномерном случае в точке особенности ван Хова бесконечными становятся сами функции gn (?).
Фиг. 8.2. Двумерная иллюстрация построения, используемого при выводе формулы (8.60). Замкнутые кривые — две поверхности постоянной энергии; между ними заключена (более темная) интересующая нас область; для одной точки к указано расстояние Sft(k). •152
