Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 90

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 203 >> Следующая


Глава 4

сингулярности называют особенностями ван Xoea Они возникают при тех значениях її, для которых поверхности постоянной энергии Sn (її) содержат

точки, где величина VJ6n (к) обращается в нуль. Производные от плотности уровней при энергии Ферми входят во все члены разложения Зоммерфельда, за исключением первого из них 2); это означает, что в тех случаях, когда на поверхности Ферми есть точки с нулевым значением Vfjl (к), нам следует ожидать появления аномалий низкотемпературных свойств металлов 3).

Типичные особенности ван Хова изображены на фиг. 8.3 и рассмотрены в задаче 2 в гл. 9.

На этом мы завершаем обсуждение общих свойств одноэлектронных уровней в периодическом потенциале 4). В следующих двух главах исследуются два разных и очень важных предельных случая, которые можно рассматривать как конкретные иллюстрации довольно абстрактного анализа, проведенного в настоящей главе.

ЗАДАЧИ

1. Периодические потенциалы в одномерном случае

В одномерном случае оказывается возможным продолжить общее исследование уровней электрона в периодическом потенциале, не связанное с детальными характеристиками этого потенциала. Одномерный случай во многих отношениях не является типичным (так как в нем не требуется понятия поверхности Ферми) и может даже вводить в заблуждение (в нем исчезает возможность перекрытия зон, которое оказывается весьма вероятным в

Фиг. 8;4. Одномерный периодический потенциал U (х). Обратите внимание на то, что ионы расположены в узлах решетки Бравэ с постоянной решетки а. Удобно считать, что эти точки имеют координаты (n -)- V2) а, и выбрать потенциал таким образом, чтобы он достигал нулевого значения в точках расположения ионов.

случае двух и трех измерений). Тем не менее все же интересно проследить, как некоторые из характерных черт трехмерной зонной структуры, приближенно рассчитываемой в гл. 9—И, возникают в одномерном случае в результате точного рассмотрения.

х) Фактически те же самые особенности имеют место в теории колебаний решетки. См. гл. 23. (Особенности ван Хова возникают при тех значениях энергии %, при которых изоэнергетические поверхности изменяют свою топологию.— Прим. ред.)

2) См., например, гл. 2, задачу 2, п. «е».

3) Их существование было предсказано И. М. Лифшицем. Они получили название фазовых переходов 2V2 рода.—Прим. ред.

4) В задаче 1 общий анализ продолжен для более простого случая одномерного потенциала, хотя этот случай и является несколько дезориентирующим.

Фиг. 8.3. Особенности ван Хова в плотности уровней (указаны стрелками, Перпендикулярными оси %). Уровни электрона в периодическом потенциале

153

Итак, пусть мы имеем одномерный периодический потепциал U (х) (фиг. 8.4). Удобно считать, что ионы покоятся в точках минимума потенциала U, которые, по предположению, определяют нулевое значение энергии. Будем рассматривать периодический потенциал как суйерпозицию потенциальных барьеров v (х) с шириной а, центры которых находятся в точках X = + па (фиг. 8.5):

OO

U(x)= 2 v(x-na). (8.64)

П= —OO

Каждое слагаемое v (х — па) представляет собой потенциальный барьер, сквозь который электрон вынужден туннелировать, чтобы перейти от иона, лежащего по одну сторону от от точки па, к иону, лежащему по другую сторону этой точки. Для простоты мы предположим, что V (х) = v(— х) (это одномерный аналог предполагавшейся выше симметрии относительно

а 6

Фиг. 8.5. Частицы, падающие слева (а) и справа (б) на один из барьеров, отделяющих друг

от друга соседние ионы в периодическом потенциале, изображенном на фиг. 8.4. Падающая, прошедшая и отраженная волны обозначены стрелками, которые параллельны направлениям распространения и имеют длину, пропорциональную соответствующим амплитудам.

инверсии), но не будем делать никаких других предположений относительно V, таким образом, форма периодического потенциала U остается достаточно произвольной.

Зонную структуру одномерного твердого тела проще всего выразить через характеристики электрона, находящегося в потенциале отдельного барьера v (х). Рассмотрим поэтому электрон, падающий слева на потенциальный барьер и имеющий энергию % = K1K2Ilm1). Поскольку V (х) = О при I X I > а/2, в этих областях волновая функция т|зг (х) будет иметь вид

b(*) = eiKx+re-lK*, *<-?,

(8.65)

= teiKx, x>±.

Схематически этот процесс изображен на фиг. 8.5,а.

Коэффициенты прохождения (t) и отражения (г) дают амплитуду вероятности того, что электрон протуннелирует сквозь барьер или отразится от него; зависимость их от волнового вектора К падающей волны определяется детальными свойствами потенциала v. Однако многие характерные черты зонной структуры, соответствующей периодическому потенциалу U, можно определить, используя лишь наиболее общие свойства коэффициентов t и г. В силу четности потенциала v функция Tpr (х) = (— х) также будет решением уравнения Шредингера с энергией %. Из (8.65) следует, что функция г|зг (х) имеет вид

IliT(x) = te~iKx,

(8.66)

Очевидно, она описывает частицу, которая падает на барьер справа, как показано на фиг. 8.5,6.
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed