Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
W = Jck-Kei(k-K)-r, (9.1)
где коэффициенты Cic-K и энергия уровня % определяются системой уравнений (8.41):
(к- К)»- % ] ск_К + 2 ?/k'-k<V-k = 0. (9.2)
К'
Сумма в (9.1) берется по всем векторам К обратной решетки; при фиксированном к имеется по одному уравнению вида (9.2) для каждого вектора К обратной решетки. Множество (бесконечное) различных решений уравнений (9.2) при заданном к нумеруется значениями числа п — номера зоны. Можно (но не обязательно) считать, что волновой вектор к лежит в первой зоне Бриллюэна /с-про-странства.
В случае свободных электронов все фурье-компоненты Uк равны нулю. Уравнение (9.2) принимает тогда вид
(Н-к-щ ck-k = о, (9.3)
где введено обозначение
gS=-ST , (9-4)
Из уравнения (9.3) следует, что для любого К должно выполняться условие ck-k = 0 или условие Sf = Jsk-k- Последнее может иметь место лишь для одного К, кроме случаев, когда ёк-к имеет одно и то же значение при нескольких различных значениях К. Если такое вырождение отсутствует, мы получаем обычные решения для свободных электронов:
% = U-K, г|-к~е«(*-к).г. (9.5)
Если, однако, имеется такая группа волновых векторов K1, . . ., Km обратной решетки, для которых
^k-k, = ••• = ?k-k т» (9-6)
то при энергии Ш, равной значению (9.6), существует т независимых вырожденных решений вида плоской волны. Поскольку > любая линейная комбинация вырожденных решений также является решением, у нас остается полная свобода В Выборе Коэффициентов Ck-K При К = Kj, . • •, Km.
Эти простые замечания приобретают более глубокое содержание, если значения Uk не равны нулю, но очень малы. Мы по-прежнему должны прово- Электроны в слабом периодическом потенциале 159-
дить анализ для двух случаев, которые соответствуют наличию и отсутствию вырождения для свободных электронов. Теперь, однако, проводя такое разделение, мы исходим уже не из условия строгого равенства *) энергий двух
Фиг. 9.1. Для значений к, лежащих в заштрихованных интервалах, уровни свободных электронов и ^к_к отличаются на величину О (U).
и более различных уровней свободных электронов, а считаем, что энергии равны друг другу лишь с точностью до членов порядка U.
Случай 1. Будем считать вектор к фиксированным и рассмотрим такой вектор K1 обратной решетки, для которого выполняется условие
I Sk-K1— ^k-K I U для заданного к и всех K=^K1, (9.7)
т. е. энергия свободного электрона прв. k = K1 отличается от его значения при всех других К на величину, значительно превышающую U (фиг. 9.1) 2). Будем рассматривать воздействие потенциала на такой уровень свободного электрона, для которого
S = St-K1, Ck-K = О, K^K1. (9.8)
Полагая в уравнениях (9.2) К = K1 [и используя обозначение (9.4)], находим (штрих у индекса суммирования опускаем)
(Ш — Sk-K1)Ck-Kl = У ^K-KlCk-K- (9.9)
Поскольку мы выбрали аддитивную постоянную в потенциальной энергии таким образом, чтобы t/K = О ПРИ K = O (см. стр. 144), в правой части равенства (9.9) имеются только члены с К Ф K1. Так как мы рассматриваем решение,
для которого Ck_к обращается в нуль при К Ф K1 в пределе U —>- 0, следует
ожидать, что члены в правой части уравнения (9.9) будут иметь второй порядок
Читатель, знакомый со стационарной теорией возмущений, может возразить, что поскольку строгое вырождение отсутствует, то, рассматривая достаточно малые U, мы можем сделать все разности энергий между уровнями большими по сравнению с U. Это действительно справедливо для любого заданного к. Однако мы исходим из определенного конечного значения U, каким бы малым оно ни было, и ищем процедуру, справедливую для всех к в первой еоне Бриллюэна. Мы увидим, что независимо от степени малости U всегда можно найти некоторые значения к, для которых расстояние между невозмущенными уровнями мало по сравнению с U. Следовательно, проводимые ниже рассуждения оказываются более тонкими, чем обычная теория возмущений в вырожденном случае.
2) В неравенствах такого вида U обозначает характерную фурье-компоненту потенциала. •160
Глава 4
по U. Это можно проверить непосредственно, записав уравнение (9.2) для К Ф Ф K1 в виде
_ 6K1-KcIv-K1 . Y ^К'-КСк-К' /Qim
Ск К -^--Г- Zi —--F--. (У-IU)
B — ^k-K К'. K1 © —®к-К
MbI выделили ИЗ суммы В (9.10) ТОТ член, который содержит Ck-Kn ибо он ПО порядку величины превосходит остальные члены, включающие В себя Ck—К' при К' Ф K1. Это следует из предположения (9.7), согласно которому уровень Sfk-K1 не является ПОЧТИ вырожденным ПО отношению K другим уровням Sffc-K-В противном случае некоторые из знаменателей в (9.10) имели бы малую величину порядка U; в результате множитель U в числителе сокращался бы и в сумме в (9.10) возникли бы дополнительные члены, сравнимые по величине с членом, содержащим К = K1.
Поэтому в отсутствие приближенного вырождения имеем
Ck-K= +O(IP). (9.11)
6 — ©k-K
Подставляя это выражение в (9.9), находим
(Ш -П-Ъд Ck-Kl = S Ck-K1 + О (С/3). (9.12)
~Г е — ©к—К к
Следовательно, возмущенный уровень энергии Ш отличается от значения Sk-K1 для свободного электрона на величину порядка U2. Поэтому, чтобы решить уравнение (9.12) для Щ с такой точностью, достаточно заменить ? справа в знаменателе на ^k-KiJ в результате получаем следующее выражение х) для Sf, правильное с точностью до второго порядка по U:
